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  • 最优化理论与方法(袁亚湘 孙文瑜)笔记(二)

    范数的相容性:

    ||AB||≤||A||.||B||

    容易知道,诱导p-范数和Frobenius范数满足相容性条件,且有

    ||AB||F≤min{||A||2||B||F,||A||F||B||2}.

    椭圆向量范数:

    ||x||A=(xTAx)1/2

    直交不变矩阵范数

    ||UA||=||A||

    显然,谱范数和Frobenius范数是直交不变范数

    范数的等价性,收敛性

    范数的几个重要不等式

     (1)Cauchy-Schwarz不等式:

        |xTy|≤||x||||y||

      当且仅当x和y线性相关时,等式成立。

    (2)设A是n×n正定矩阵,则

        |xTAy|≤||x||||y||A

      当且仅当x和y线性相关时,等式成立。

    (3)设A是n×n正定矩阵,则

        |xTy|≤||x||A||y||A

      当且仅当x和A-1y线性相关时,等式成立。

    (4)Young不等式:假定p和q都是大于1的实数,1/p+1/q=1,如果x和y是实数,则

        xy≤xp/p+yq/q,

      当且仅当xp=yq时,等式成立。

    (5)Holder不等式:

      

      其中p和q都大于1且满足1/p+1/q=1.

    (6)Minkowski不等式:

      ||x+y||p≤||x||p+||y||p

      其中,p≥1.

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Wanggcong/p/4704611.html
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