DP2 约瑟夫环的优化（时间复杂度为O（N））

约瑟夫问题描述：
n个人围成一个圈，编号为0,1,2,..,n-1，设定一个常数k，然后从0号开始从1依次报数，报到k的那个人退出圈，后面一个人继续从1开始报数，依次类推，求最后剩下的人的编号

方法1：
模拟游戏过程的方法，将n个人串成一个循环链表，不停地去遍历链表，直到最后剩下一个结点。
优点：方法直观，写起来很容易
缺点：模拟了全部游戏过程，非常耗时，并且在n较大时占用较大的内存空间

方法2：
数学递推的方式。
分析：设有N个人，编号依次为0 1 2 3  ... k-2 k-1 k ... n-3 n-2 n-1

先做K 的判断：if（k 〉n)  k%=n;

第一次报到k的人为编号k-1,再将k-1到队尾的移到队头变为F(n)= k k+1 k+2  ...  n-1 0 1 ...     k-2

                                                      而n-1个人围成一圈为F(n-1)=0 1     2  ...      k-1 k k+1 ...  n-2 n-1

可以发现 F(n) = （F(n-1)+K）%N

设F[i] 表示i个人玩游戏最后剩下的那个人的编号

状态转移方程 F(i) = （F(i-1)+K）%i

边界条件 F[1] = 0;

目标状态 F（n）;

java 代码

Scanner in = new Scanner(System.in);
int n = in.nextInt();
int k = in.nextInt();
int res = 0;
for(int i = 2;i <= n;i++){
res = (res + k) % i;
}
System.out.print(res+1);