【题解】分离与合体 [Loj10151]

【题解】分离与合体 [Loj10151]

传送门：分离与合体 ([Loj10151])

【题目描述】

给定一个长度为 (n) 的序列，如果从某个点 (k) 处将区间 ([l,r]) 断开，划分为 ([l,k]) 和 ([k+1,r])，可以得到 (a[k]*(a[l]+a[r])) 的分数，要求最后要把区间划分到无法再分为止（即长度全为 (1)），并按照分离时间从前到后，区间从左到右的顺序输出所有划分点 (k) 。

【样例】

样例输入：
7
1 2 3 4 5 6 7

样例输出：
238
1 2 3 4 5 6

【数据范围】

(20\%) (N leqslant 10)

(40\%) (N leqslant 50)

(100\%) (N leqslant 300)

---

【分析】

与经典区间 (dp) 题石子合并 ([NOI1995]) ([P1880])非常相似，用 (dp[l][r]) 表示将 ([l,r]) 这段区间彻底划分完所能获得的最大分数。

通常区间 (dp) 有两种大的方向：
((1).) 从小区间向大区间转移
((2).) 从大区间向小区间转移

这道题应采用 ((1)) 更为合适。

按区间长度从小到大枚举所有区间 ([l,r])，再枚举所有决策点 (k in[l,r-1])，(dp) 方程为：
(dp[l][r]=max{(a[l]+a[r])*a[k] + dp[l][k] +dp[k+1][r] })

那么再来看这无比诡异的输出。
区间最优决策点在 (dp) 的时候记录一下就可以，输出方式可以用队列来进行模拟，和 (bfs) 的过程类似。

另外要注意这里队列的两种写法会造成空间消耗的不同，
((1).) 从队首取出元素后判断是否为合法区间（即长度大于 (1) 才输出划分点）
((2).) 在入队前判断，仅让合法区间入队。

第二种只会在队列中加入 (n-1) 个合法区间（因为只会划分 (n-1) 次），而第一种会比第二种多加入 (n) 个长度为 (1) 的不合法区间，因此队列空间要开 (2n)。

时间复杂度为 (O(n^3)) 。

【Code】

#include<cstdio>
#define Re register int
const int N=303;
struct QAQ{int l,r;}Q[N];//空间要开够
int n,h=1,t,tmp,a[N],g[N][N],dp[N][N];
inline void in(Re &x){
    int f=0;x=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    x=f?-x:x;
}
int main(){
    in(n);
    for(Re i=1;i<=n;++i)in(a[i]);
    for(Re i=2;i<=n+1;++i)
    	for(Re l=1;l+i-1<=n;++l){
            Re r=l+i-1;
            for(Re k=l;k<r;++k)
                if((tmp=dp[l][k]+dp[k+1][r]+a[k]*(a[l]+a[r]))>dp[l][r])dp[l][r]=tmp,g[l][r]=k;
    	}
    printf("%d
",dp[1][n]);
    Q[++t]=(QAQ){1,n};
    while(h<=t){
    	QAQ x=Q[h++];
    	Re l=x.l,r=x.r,k=g[l][r];
//    	if(l==r)continue;/*写法1.0*/ 
//      if(!k)continue;/*写法1.1*/ 
    	printf("%d ",k);
//    	Q[++t]=(QAQ){l,k};/*写法1*/ 
//    	Q[++t]=(QAQ){k+1,r};/*写法1*/ 
        if(l<k)Q[++t]=(QAQ){l,k};/*写法2*/ 
        if(k+1<r)Q[++t]=(QAQ){k+1,r};/*写法2*/ 
    }
}