【学习笔记】数论、数学—常见定理、结论、性质汇总

【学习笔记】数论、数学—常见定理、结论、性质汇总

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〇：【不知道放哪儿好的内容】

1.【和式】

【推导结论】

• (sum_{i=1}^{n}i=frac{n(n+1)}{2})

• (sum_{i=1}^{n}i^{2}=frac{n(n+1)(2n+1)}{6})

• (sum_{i=1}^{n}i^{3}=left(frac{n(n+1)}{2} ight)^{2})

2.【下降幂、上升幂】

【基本性质、定理】

• (x^{underline{n}}=(x-1)^{underline{n-1}}x=frac{(x)!}{(x-n)!}=prod_{i=x-n+1}^{x} i) ((x^{underline{0}}=1))

• (x^{overline{n}}=(x+1)^{overline{n-1}}x=frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}=prod_{i=x}^{x+n-1} i) ((x^{overline{0}}=1))

【推导结论】

• (x^{underline{n}}=(-1)^n(-x)^{overline{n}})

• (x^{overline{n}}=(-1)^n(-x)^{underline{n}})

• (x^{underline{n}}=A_{x}^{n})

• (x^{overline{n}}=A_{x+n-1}^{n})

3.【三角函数】

【基本性质、定理】

(1).【函数基本关系】

• ( an alpha=frac{sin alpha}{cos alpha})

• (cot alpha=frac{cos alpha}{sin alpha})

• (sin alphacsc alpha=1)

• (cos alphasec alpha=1)

• ( an alphacot alpha=1)

• (sin^{2}alpha+cos^{2}alpha=1)

• (sec^{2}alpha- an^{2}alpha=1)

• (csc^{2}alpha-cot^{2}alpha=1)

(2).【秀导公式】

• (sin(-alpha)=-sin alpha)

• (cos(-alpha)=cos alpha)

• ( an(-alpha)=- an alpha)

• (cot(-alpha)=-cot alpha)

• (sin(pi+alpha)=-sin alpha)

• (cos(pi+alpha)=-cos alpha)

• ( an(pi+alpha)= an alpha)

• (cot(pi+alpha)=cot alpha)

• (sin(pi-alpha)=sin alpha)

• (cos(pi-alpha)=-cos alpha)

• ( an(pi-alpha)=- an alpha)

• (cot(pi-alpha)=-cot alpha)

• (sin(frac{1}{2}pi-alpha)=cos alpha)

• (cos(frac{1}{2}pi-alpha)=sin alpha)

• ( an(frac{1}{2}pi-alpha)=cot alpha)

• (cot(frac{1}{2}pi-alpha)= an alpha)

(3).【和角公式】

• (sin(alpha+eta)=sin alphacos eta+cos alphasin eta)

• (sin(alpha-eta)=sin alphacos eta-cos alphasin eta)

• (cos(alpha+eta)=cos alphacos eta-sin alphasin eta)

• (cos(alpha-eta)=cos alphacos eta+sin alphasin eta)

• ( an(alpha+eta)=frac{ an alpha+ an eta}{1- an alpha an eta})

• ( an(alpha-eta)=frac{ an alpha- an eta}{1+ an alpha an eta})

(4).【积化和差】

（同 (cos) 异 (sin)，(sin) (sin) 负负）

• (cos alphacos eta=frac{1}{2}[cos(alpha+eta)+cos(alpha-eta)])

• (sin alphasin eta=-frac{1}{2}[cos(alpha+eta)-cos(alpha-eta)])

• (sin alphacos eta=frac{1}{2}[sin(alpha+eta)+sin(alpha-eta)])

• (cos alphasin eta=frac{1}{2}[sin(alpha+eta)-sin(alpha-eta)])

(5).【和差化积】

• (sin alpha+sin eta=2sin(frac{alpha+eta}{2})cos(frac{alpha-eta}{2}))

• (cos alpha+cos eta=2cos(frac{alpha+eta}{2})cos(frac{alpha-eta}{2}))

• (sin alpha-sin eta=2cos(frac{alpha+eta}{2})sin(frac{alpha-eta}{2}))

• (cos alpha-cos eta=-2sin(frac{alpha+eta}{2})sin(frac{alpha-eta}{2}))

• ( an alpha+ an eta=frac{sin(alpha+eta)}{cos alphacos eta})

(6).【倍角公式】

• (sin 2alpha=2sin alphacos alpha)

• (cos 2alpha=cos^2 alpha-sin^2 alpha=2cos^2 alpha-1=1-2sin^2 alpha)

• ( an 2alpha=frac{2 an alpha}{1- an^2 alpha})

(7).【半角公式】

• (sin frac{alpha}{2}=pmsqrt{frac{1-cos alpha}{2}})

• (cos frac{alpha}{2}=pm sqrt{frac{1+cos alpha}{2}})

• ( an frac{alpha}{2}=pm sqrt{frac{1-cos alpha}{1+cos alpha}})

• ( an frac{alpha}{2}=frac{1-cos alpha}{sin alpha}=frac{sin alpha}{1+cos alpha})

(8).【万能公式】

• (sin alpha=frac{2 an frac{alpha}{2}}{1+ an^{2} frac{alpha}{2}})

• (cos alpha=frac{1- an^{2} frac{alpha}{2}}{1+ an^{2} frac{alpha}{2}})

• ( an alpha=frac{2 an frac{alpha}{2}}{1- an^{2} frac{alpha}{2}})

(9).【正弦定理、余弦定理】

• (frac{a}{sin A}=frac{b}{sin B}=frac{c}{sin C}=2 R)（其中 (R) 为 (Delta ABC) 外接圆半径）

• (cos A=frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc})

• (cos B=frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac})

• (cos C=frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab})

(10).【常见反三角函数】

• (arcsin alpha+arccos alpha=frac{pi}{2})

(11).【辅助角公式】

• (asin alpha+bcos alpha=sqrt{a^2+b^2}sin(alpha+arctanfrac{b}{a}) (a>0))

4.【单位根】

【基本性质、定理】

• (omega_{n}^{k}=cos(frac{2pi k}{n})+sin(frac{2pi k}{n})i)

• (omega_{n}^{k}=g^{frac{k(P-1)}{n}}mod P) ((P=k2^{t}+1,Pin {Prime}))

【推导结论】

• (omega_{n}^{k}=(omega_{n}^{1})^{k})

• (omega_{n}^{j}omega_{n}^{k}=omega_{n}^{j+k})

• (omega_{2n}^{2k}=omega_{n}^{k})

• (omega_{n}^{(k+n/2)}=-omega_{n}^{k}) ((n) 为偶数 ())

• (sum_{i=1}^{n-1}omega_{n}^{i}=0)

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一：【基本数论、数学知识】

1.【斐波那契数列（Fibonacci）】

【基本性质、定理】

• (fib_{n}=egin{cases}0&n=0\ 1&n=1\ fib_{n-1}+fib_{n-2}&n>1end{cases}) 【模板】

【推导结论】

• (sum_{i=1}^{n}{f_{i}}=f_{n+2}-1)

• (sum_{i=1}^{n}{f_{2i-1}}=f_{2n})

• (sum_{i=1}^{n}{f_{2i}}=f_{2n+1}-1)

• (sum_{i=1}^{n}{(f_{n})^2}=f_{n}f_{n+1})

• (f_{n+m}=f_{n-1}f_{m-1}+f_{n}f_{m})

• ((f_{n})^2=(-1)^{(n-1)}+f_{n-1}f_{n+1})

• (f_{2n-1}=(f_{n})^2-(f_{n-2})^2)

• (f_{n}=frac{f_{n+2}+f_{n-2}}{3})

• (frac{f_{i}}{f_{i-1}} approx frac{sqrt{5}-1}{2} approx 0.618)

• (f_{n}=frac{left(frac{1+sqrt{5}}{2} ight)^{n}-left(frac{1-sqrt{5}}{2} ight)^{n}}{sqrt{5}}) 【证明】

2.【最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）】

【基本性质、定理】

• (gcd(a,b)=gcd(b,a-b)) ((a>b))

• (gcd(a,b)=gcd(b,a mod b))

• (gcd(a,b)operatorname{lcm}(a,b)=ab)

【推导结论】

• (k | gcd(a,b) iff k|a) 且 (k|b)

• (gcd(k,ab)=1 iff gcd(k,a)=1) 且 (gcd(k,b)=1)

• ((a+b)mid abLongrightarrow gcd(a,b) eq 1) 【例题】

• 在 (Fibonacc) 数列中求相邻两项的 (gcd) 时，辗转相减次数等于辗转相除次数。

• (gcdleft(fib_{n},fib_{m} ight)=fib_{gcd(n,m)}) 【证明】

3.【裴蜀（Bézout）定理】

【基本性质、定理】

• 设 (a,b) 是不全为零的整数，则存在整数 (x,y) , 使得 (ax+by=gcd(a,b))

• (gcd(a,b)|d iff exists x,yinmathbb{Z},ax+by=d)

【推导结论】

• 设不定方程 (ax+by=gcd(a,b)) 的一组特解为 (egin{cases}x=x_0\ y=y_0end{cases})，则 (ax+by=c) ((gcd(a,b)|c)) 的通解为 (egin{cases}x=frac{c}{gcd(a,b)}x_0+kfrac{b}{gcd(a,b)}\ y=frac{c}{gcd(a,b)}y_0-kfrac{a}{gcd(a,b)}end{cases}(kinmathbb{Z})) 。【模板】

• (forall a,b,zinmathbb{N^{*}},gcd(a,b)=1,) (exists x,yinmathbb{N^{}},) (ax+by=ab-a-b+z) 【例题】

4.【欧拉函数】

【基本性质、定理】

• (varphi(x)=xprod_{i=1}^{n}(1-frac{1}{p_{i}}),) 其中 (p_i) 为 (x) 的质因子，(n) 为 (x) 的质因子个数

• (gcd(a,b)=1Longrightarrow varphi(ab)=varphi(a)varphi(b))（欧拉函数是积性函数）

【推导结论】

• (p>2 Longrightarrow [varphi(p)mod 2=0])

• (pin{Prime} Longrightarrow varphi(p^{k})=p^{k}-p^{k-1})

• (sum_{i=1}^{n}i[gcd(i,n)=1]=frac{nvarphi(n)+[n=1]}{2}) 【例题】

• (f(n)=sum_{i=1}^{n}[gcd(i,k)=1]=frac{n}{k}varphi(k)+f(nmod k))

5.【同余运算】

【基本性质、定理】

• (egin{cases}aequiv b(mod m)\ cequiv d(mod m)end{cases}Longrightarrow a+cequiv b+d(mod m))

• (egin{cases}aequiv b(mod m)\ cequiv d(mod m)end{cases}Longrightarrow a-cequiv b-d(mod m))

• (aequiv b(mod m)Longrightarrow akequiv bk(mod m))

• (kaequiv kb(mod m),gcd(k,m)=1Longrightarrow aequiv b(mod m))

6.【费马小定理及其扩展】

【基本性质、定理】

• (Pin{Prime},P mid aLongrightarrow a^{P-1}=1(mod P))

【推导结论】

• 对于任意多项式 (F(x)=sum_{i=0}^{infty}a_i x^i)（(a_i) 对一个质数 (P) 取模），若满足 (a_{0}equiv 1(mod P))，则 (forall nleqslant P,F^{P}(x)equiv 1(mod x^{n})) 。【例题】

7.【欧拉定理及其扩展】

【基本性质、定理】

• (gcd(a,m)=1Longrightarrow a^{varphi(m)}equiv 1(mod m))

• (gcd(a,m)=1Longrightarrow a^{b} equiv a^{bmod varphi(m)}(mod m))

• (b>varphi(m)Longrightarrow a^{b} equiv a^{bmod varphi(m)+varphi(m)}(mod m)) 【例题】

【推导结论】

• (exists xin N^{*},a^x=1(mod m)) (iff) (gcd(a,m)=1) 【证明】 【例题】

8.【孙子定理/中国剩余定理（CRT）及其扩展】

【基本性质、定理】

• 若 (m_1,m_2...m_k) 两两互素，则同余方程组 (egin{cases}xequiv a_{1}left(mod m_{1} ight)\ xequiv a_{2}left(mod m_{2} ight)\ vdots\ xequiv a_{k}left(mod m_{k} ight)end{cases}) 有唯一解为：(x=sum_{i=1}^{k}a_iM_iM_i^{-1},) 其中 (M_i=prod_{j eq i}m_j) 。【模板】

9.【佩尔（Pell）方程】

【基本性质、定理】

• 形如 (x^2-Dy^2=1) ((Dinmathbb{N^{*}} ext{且为非平方数})) 的方程被称为第一类佩尔方程。设它的一组最小正整数解为 (egin{cases}x=x_0\ y=y_0end{cases},) 则其第 (n) 个解满足：(x_n+sqrt{D}y_n=(x_0+sqrt{D}y_0)^{n+1},) 递推式为 (egin{cases}x_n=x_0x_{n-1}+Dy_0y_{n-1}\ y_n=x_0y_{n-1}+y_0x_{n-1}end{cases}) 。【例题】

• 形如 (x^2-Dy^2=-1) ((Dinmathbb{N^{*}} ext{且为非平方数})) 的方程被称为第二类佩尔方程。设它的一组最小正整数解为 (egin{cases}x=x_0\ y=y_0end{cases},) 则其第 (n) 个解满足：(x_n+sqrt{D}y_n=(x_0+sqrt{D}y_0)^{2n+1}) 。递推式略。

10.【勾股方程/勾股数组】

【基本性质、定理】

• 方程 (x^2+y^2=z^2) 的正整数通解为 (egin{cases}x=k(u^2-v^2)\ y=2kuv\ z=k(u^2+v^2)end{cases}(u,vin{Prime},kinmathbb{N^{*}}),) 且均满足 (gcd(x,y,z)=k) 。

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二：【组合数学】

1.【排列与组合数】

【基本性质、定理】

• (A_{n}^{m}=frac{n!}{(n-m)!})【排列】

• (C_{n}^{m}=frac{A_{n}^{m}}{m!}=frac{n!}{m!(n-m)!})【组合】

• (C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m})【对称公式】

• (C_{n}^{m}=C_{n-1}^{m}+C_{n-1}^{m-1})【加法公式】

• (C_{n}^{m}=frac{n}{m}C_{n-1}^{m-1})【吸收公式】

• (C_{n}^{m}=(-1)^{m}C_{m-n-1}^{m})【上指标反转】

• (sum_{i=0}^{m}C_{n+i}^{i}=C_{n+m+1}^{m})【平移求和】

• (sum_{i=0}^{k}C_{n}^{i}C_{m}^{k-i}=C_{n+m}^{k})【范德蒙德卷积】

• (C_{n}^{k}C_{k}^{m}=C_{n}^{m}C_{n-m}^{k-m})

【推导结论】

• (ij=C_{i+j}^{2}-C_{i}^{2}-C_{j}^{2})

• (sum_{i=0}^{n}C_{n-i}^{i}=fib_{n+1})

• (sum_{i=0}^{n}C_{i}^{m}=C_{n+1}^{m+1})（平移求和）

• (sum_{i=0}^{n}(C_{n}^{i})^{2}=C_{2n}^{n})（范德蒙德卷积）

• (sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}C_{n}^{i}C_{i}^{m}=[m=n])（可用其证明二项式反演）

• (sum_{i=0}^{n}(-1)^{i-m}C_{n}^{i}C_{i}^{m}=[m=n])（可用其证明二项式反演）

2.【卢卡斯定理】

【基本性质、定理】

• (C_{n}^{m}=C_{lfloorfrac{n}{p} floor}^{lfloorfrac{m}{p} floor}C_{nmod p}^{mmod p}) ((pin{Prime})) 【模板】

3.【库默尔定理】

【基本性质、定理】

• (forall m,nin{mathbb{Z}},Pin{Prime},) (C_{m+n}^m) 含 (P) 的幂次等于 (m+n) 在 (P) 进制下的进位次数。【例 题】

4.【牛顿二项式定理】

【基本性质、定理】

• ((x+y)^{n}=sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}x^{n-i}y^i)

【推导结论】

• (sum_{i=0}^{n}C_n^{i}=2^n)

• (sum_{i=0}^{n}iC_n^{i}=n2^{n-1})

• (sum_{i=0}^{n}i^2C_n^{i}=n(n+1)2^{n-1})

5.【广义牛顿二项式定理】

【基本性质、定理】

• (C_{r}^{n}=egin{cases}0&n<0,rinmathbb{R}\ 1&n=0,rinmathbb{R}\ frac{r(r-1)cdots(r-n+1)}{n!}&n>0,rinmathbb{R}end{cases})

• ((1+x)^{-n}=sum_{i=0}^{infty}C_{-n}^{i}x^{i}=sum_{i=0}^{infty}(-1)^iC_{n+i-1}^{i}x^i)

• ((x+y)^{alpha}=sum_{i=0}^{infty}C_{alpha}^{i}x^{alpha-i}y^i) ((x,y,alphainmathbb{R} ext{且} |frac{x}{y}|<1)) 【证明】

6.【卡特兰数 (Catalan)】

【基本性质、定理】

• (cat_{n}=egin{cases}1&n=0\ sum_{i=0}^{n-1}cat_{i}cat_{n-i-1}&n>0end{cases}) 【模板 (1)】 【模板 (2)】

【推导结论】

• (cat_{n}=C_{2n}^n-C_{2n}^{n+1}=frac{C_{2n}^{n}}{n+1}) 【感性理解】 【生成函数严格证明】

7.【斯特林数 (Stirling)】

【基本性质、定理】

• (s_{n}^{m}=s_{n-1}^{m-1}+(n-1)s_{n-1}^{m}) ((s_{n}^{n}=1,s_{n}^{0}=0^{n}))【第一类斯特林数】

• (S_{n}^{m}=S_{n-1}^{m-1}+mS_{n-1}^{m}) ((S_{n}^{n}=1,S_{n}^{0}=0^{n}))【第二类斯特林数】【模板】 【例题】

• (S_{n}^{m}=frac{sum_{i=0}^{m}(-1)^{m-i}C_{m}^{i}i^{n}}{m!}=sum_{i=0}^{m} frac{(-1)^{m-i}}{(m-i)!}frac{i^{n}}{i !}) 【模板】

【推导结论】

• (n!=sum_{i=0}^{n}s_{n}^{i})

• (x^{overline{n}}=sum_{i=0}^{n}s_{n}^{i}x^i)

• (x^{underline{n}}=sum_{i=0}^{n}s_{n}^{i}x^i(-1)^{n-i})

• (x^n=sum_{i=0}^{x,n}S_{n}^{i}x^{underline{i}})

• (x^{n}=sum_{i=0}^{x,n}S_{n}^{i}x^{overline{i}}(-1)^{n-i})

• (sum_{i=1}^{n}S_{n}^{i}s_{i}^{m}=sum_{i=0}^{n}s_{n}^{i}S_{i}^{m})

• (sum_{i=0}^{n} i^{k}=sum_{j=0}^{n}j!S_{k}^{j}C_{n+1}^{j+1})

• (sum_{i=1}^{n}C_{n}^{i}i^{k}=sum_{j=0}^{k} S_{k}^{j}2^{n-j}frac{n!}{(n-j)!}) 【例题】

8.【贝尔数 (Bell)】

【基本性质、定理】

• (B_n=sum_{i=1}^{n}S_{n}^{i}) ((B_0=1)) 【模板】

• (B_{n}=sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^{i}B_{i}) 【模板】

9.【Polya 定理】

【基本性质、定理】

• (ans=frac{sum_{i=1}^{n}m^{k_{i}}}{n}) 【理解】

10.【经典容斥原理】

【推导结论】

• (f(i)=sumlimits_{j=i}^{n}(-1)^{j-i}C_{j}^{i}g(j)) (=g(i)-sumlimits_{j=i+1}C_{j}^{i}f(j))（(f(i)) 为恰好 (i) 个满足"balabala"的方案数，(g(i)) 为钦定 (i) 个满足"balabala“其他随意的方案数）【例题】 【例题】 【例题】 【例题】

11.【生成函数】

【推导结论】

(1).【常用普通生成函数 (OGF) 收敛性式】

• (sum_{i=0}^{infty}x^i=frac{1}{1-x})

• (sum_{i=0}^{infty}a^ix^i=frac{1}{1-ax})

• (sum_{i=0}^{infty}(i+1)x^i=frac{1}{(1-x)^2})

• (sum_{i=0}^{infty}C_{n}^{i}x^i=(1+x)^n)

• (sum_{i=0}^{infty}C_{n+i-1}^{i}x^i=frac{1}{(1-x)^n})

• (sum_{i=0}^{infty}fib_{i}x^i=frac{x}{1-x-x^2})（斐波那契数）

• (sum_{i=0}^{infty}(sum_{j=0}^{i}fib_{j})x^i=frac{x}{(1-x)(1-x-x^2)})（斐波那契数列前缀和）

• (sum_{i=0}^{infty}cat_{i}x^i=frac{1-sqrt{1-4x}}{2x})（卡特兰数）

(2).【常用指数生成函数 (EGF) 收敛性式】

• (sum_{i=0}^{infty}frac{x^i}{i!}=e^x)

• (sum_{i=0}^{infty}frac{x^{2i}}{(2i)!}=frac{e^x+e^{-x}}{2})

• (sum_{i=0}^{infty}frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}=frac{e^x-e^{-x}}{2})

• (sum_{i=0}^{infty}B_{i}frac{x_{i}}{i!}=e^{e^{x}-1})（贝尔数）

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三：【各种反演】

1.【欧拉反演】

【基本性质、定理】

• (sum_{d|n}varphi(d)=n) （即 (varphiast 1=operatorname{id})） 【证明】

【推导结论】

• (gcd(i,j)=sum_{d|i,d|j} varphi(d))

• (sum_{i=1}^{n} sum_{j=1}^{n} gcd(i,j)=) (sum_{d=1}^{n}dleft(2sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{d} floor}{varphi(i)}-1 ight)) 【例题（(9) 倍经验）】

• (sum_{i=1}^{n} sum_{j=1}^{m} gcd(i,j)=) (sum_{d=1}^{n} varphi(d) lfloorfrac{n}{d} floor lfloorfrac{m}{d} floor) 【例题】

• (prod_{i=1}^{n} prod_{j=1}^{n} left(frac{operatorname{lcm}(i,j)}{gcd(i,j)} ight)=) (frac{(n!)^{2n}}{left(prod_{d=1}^{n} d^{left(2 S_{varphi}(lfloorfrac{n}{a} floor)-1 ight)} ight)^{2}}) 【例题】

2.【狄利克雷卷积 (Dirichlet) 与莫比乌斯反演 (Mobius) 】

【基本性质、定理】

• ((f ast g)(n)=sum_{d | n} f(d) g(frac{n}{d})=)

• (sum_{d|n} mu(d)=epsilon(n)) （即 (muast1=epsilon)）

• (f(n)=sum_{d | n} g(d) Longrightarrow) (g(n)=sum_{d | n} mu(frac{n}{d}) f(d)) （即 (f=gast1 Longrightarrow g=fastmu)）

• (f(n)=sum_{n | d} g(d) Longrightarrow) (g(n)=sum_{n | d} mu(frac{d}{n}) f(d))

• (f(k)=sum_{d=1}^{lfloorfrac{n}{k} floor} g(dk) Longrightarrow) (g(k)=sum_{d=1}^{lfloorfrac{n}{k} floor} mu(d) f(dk))

【推导结论】

(1).【GCD 和 LCM】

• ([gcd(i,j)=1]=sum_{d|i,d|j} mu(d))

• (sum_{i=1}^{n}sum_{i=1}^{m}[gcd(i,j)=k]=) (sum_{d=1}^{lfloorfrac{n}{k} floor} mu(d)lfloorfrac{n}{d k} floorlfloorfrac{m}{d k} floor) 【例题】

• (sum_{i=1}^{n}sum_{i=1}^{m}[gcd(i,j)in {Prime}]=) (sum_{d=1}^{n}left(lfloorfrac{n}{d} floorlfloorfrac{m}{d} floorsum_{p | d & pin{Prime}} mu(frac{d}{p}) ight)) 【例题】

• (sum_{i=1}^{n} sum_{j=1}^{m} operatorname{lcm}(i,j)=) (sum_{d=1}^{n} dleft(sum_{x=1}^{lfloorfrac{n}{d} floor} x^{2} mu(x) sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{dx} floor} isum_{i=1}^{lfloorfrac{m}{dx} floor} j ight)) 【例题】

(2).【除数函数】

• (sigma_{k}=sum_{d|n}d^{k})（即 (sigma_{k}=operatorname{id}_{k}ast1)）

• (sigma_0(xy)=sum_{i|x} sum_{j|y}[operatorname{gcd}(i,j)=1])（其中 (sigma_0(x)) 表示 (x) 的约数个数）

• (sum_{i=1}^{n}sigma_0(i)=) (sum_{i=1}^{n}lfloorfrac{n}{i} floor) 【例题】

• (sum_{i=1}^{n} sum_{j=1}^{m} sigma_0(ij)=) (sum_{k=1}^{n}mu(k)left(sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{k} floor}lfloor{frac{n}{ik}} floor ight)left(sum_{i=1}^{lfloorfrac{m}{k} floor}lfloorfrac{m}{i k} floor ight)) 【例题】

• (sigma_{1}(xy)=sum_{imid x}sum_{jmid y} frac{iy}{j}[gcd(i,j)=1])（其中 (sigma_0(x)) 表示 (x) 的约数和）

• (sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}sigma_1(ij)=) (sum_{d=1}^{n}mu(d)d left(sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{d} floor} sigma_1(i) ight)^{2}) 【例题】

• (sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m} sigma_1(gcd(i,j))=) (sum_{d=1}^{n}lfloorfrac{n}{d} floorlfloorfrac{m}{d} floorleft(sum_{i|d}mu(frac{d}{i}) sigma_1(i) ight)) 【例题】

(3).【莫比乌斯函数】

• (sum_{k=1}^{n}mu^{2}(k)=sum_{d=1}^{sqrt{n}}mu(d)lfloor frac{n}{d^{2}} floor) 【例题】

• (sum_{i=1}^{n}mu^2(i)sqrt{frac{n}{i}}=n) 【证明】

3.【二项式反演】

【基本性质、定理】

• (f(n)=sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}g(i) Longleftrightarrow) (g(n)=sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}C_{n}^{i}f(i))

• (f(n)=sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}C_{n}^{i}g(i)Longleftrightarrow) (g(n)=sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}C_{n}^{i}f(i))

• (f(n)=sum_{i=n}^{?}C_{i}^{n}g(i) Longleftrightarrow) (g(n)=sum_{i=n}^{?}(-1)^{i-n}C_{i}^{n}f(i)) 【例题】 【例题】

• (f(n)=sum_{i=n}^{?}(-1)^{i}C_{i}^{n}g(i)Longleftrightarrow) (g(n)=sum_{i=n}^{?}(-1)^{i}C_{i}^{n}f(i))

• (f(n,m)=sumlimits_{i=0}^{n}sumlimits_{j=0}^{m}C_{n}^{i}C_{m}^{j}g(i,j) Longleftrightarrow) (g(n,m)=sumlimits_{i=0}^{n}sumlimits_{j=0}^{m}(-1)^{n+m-i-j}C_{n}^{i}C_{m}^{j}f(i,j))

• (f(n,m)=sumlimits_{i=0}^{n}sumlimits_{j=0}^{m}(-1)^{i+j}C_{n}^{i}C_{m}^{j}g(i,j) Longleftrightarrow) (g(n,m)=sumlimits_{i=0}^{n}sumlimits_{j=0}^{m}(-1)^{i+j}C_{n}^{i}C_{m}^{j}f(i,j))

• (f(n,m)=sumlimits_{i=n}^{?}sumlimits_{j=m}^{?}C_{i}^{n}C_{j}^{m}g(i,j) Longleftrightarrow) (g(n,m)=sumlimits_{i=n}^{?}sumlimits_{j=m}^{?}(-1)^{i+j-n-m}C_{i}^{n}C_{j}^{m}f(i,j)) 【例题】 【例题】

• (f(n,m)=sumlimits_{i=n}^{?}sumlimits_{j=m}^{?}(-1)^{i+j}C_{i}^{n}C_{j}^{m}g(i,j) Longleftrightarrow) (g(n,m)=sumlimits_{i=n}^{?}sumlimits_{j=m}^{?}(-1)^{i+j}C_{i}^{n}C_{j}^{m}f(i,j))

4.【斯特林反演】

【基本性质、定理】

• (f(n)=sum_{i=0}^{n} S_{n}^{i} g(i) Longleftrightarrow) (g(n)=sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i} s_{n}^{i} g(i))

• (f(n)=sum_{i=0}^{n}s_{n}^{i}g(i)Longleftrightarrow) (g(n)=sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}S_{n}^{i}f(i))

• (f(n)=sum_{i=n}^{?} S_{i}^{n} g(i) Longleftrightarrow) (g(n)=sum_{i=n}^{?}(-1)^{i-n} s_{i}^{n} g(i))

• (f(n)=sum_{i=n}^{?}s_{i}^{n}g(i)Longleftrightarrow) (g(n)=sum_{i=n}^{?}(-1)^{i-n}S_{i}^{n}f(i))

5.【单位根反演】

【基本性质、定理】

• ([n|k]=frac{sum_{i=0}^{n-1}w_{n}^{ik}}{n})

• ([a=b]=frac{sum_{i=0}^{n-1} w_{n}^{a i} w_{n}^{-i b}}{n}(a,b<n))

【推导结论】

• (sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}m^{i}a_{(imod 4)}=frac{1}{4}sum_{j=0}^{3}a_{j} sum_{k=0}^{3}w_{4}^{-kj}(mw_{4}^{k}+1)^{n}) 【例题】

• (sumlimits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}m^ilfloorfrac{i}{k} floor=) (frac{1}{k}{left(nm!(m!+!1)^{n-1}-frac{1}{k}{sumlimits_{t=0}^{k}(momega_{k}^{t}+1)^{n}f(t)} ight)}) (egin{smallmatrix}left(!f(t)!=!egin{cases}!frac{k(k-1)}{2},omega_{k}^{-t}!=!1\ !frac{k}{omega_{k}^{-t}-1},omega_{k}^{-t}! eq! 1end{cases}! ight)end{smallmatrix}) 【例题】

6.【子集反演】

【基本性质、定理】

• (f(S)=sum_{Tsubseteq S}g(T)Longleftrightarrow g(S)=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|S|-|T|}f(T)) 【模板】

• (f(S)=sum_{Tsupseteq S}g(T)Longleftrightarrow g(S)=sum_{Tsupseteq S}(-1)^{|T|-|S|}f(T))

• (f(S)=sum_{Tsubseteq S}g(T)Longleftrightarrow g(S)=sum_{Tsubseteq S}mu(|S|-|T|)f(T))（(mu(S)) 在 (S) 有重复元素时为 (0)，否则为 ((-1)^{|S|})）

• (f(S)=sum_{Tsupseteq S}g(T)Longleftrightarrow g(S)=sum_{Tsupseteq S}mu(|T|-|S|)f(T))（(mu(S)) 在 (S) 有重复元素时为 (0)，否则为 ((-1)^{|S|})）

7.【最值反演（Min-Max 容斥）】

【基本性质、定理】

• (max(S)=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|+1}min(T))

• (min(S)=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|+1}max(T))

• (E(max(S))=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|+1}E(min(T))) 【模板】 【例题】

• (E(min(S))=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|+1}E(max(T)))

【推导结论】

• ( ext{K-th}max(S)=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-k}C_{|T|-1}^{k-1}min(T))

• (E( ext{K-th}max(S))=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-k}C_{|T|-1}^{k-1}E(min(T))) 【例题】

8.【拉格朗日反演】

【基本性质、定理】

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四：【数论筛法】

1.【杜教筛】

【基本性质、定理】

• (g(1) S(n)=sum_{i=1}^{n}(f ast g)(i)-sum_{d=2}^{n} g(d) Sleft(lfloorfrac{n}{d} floor ight))（其中 (S(n)=sum_{i=1}^{n}f(i))）

【推导结论】

• (S_{mu(x)}(n)=1-sum_{d=2}^{n}S(lfloorfrac{n}{d} floor)) 【模板】

• (S_{varphi(x)}(n)=sum_{i=1}^{n} i-sum_{d=2}^{n}S(lfloorfrac{n}{d} floor)) 【模板】

• (S_{(n^{2}varphi(n))}=sum_{i=1}^{n} i^{3}-sum_{d=2}^{n} d^{2} Sleft(leftlfloorfrac{n}{d} ight floor ight)) 【例题】

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五：【导数与积分】

1.【导数】

【基本性质、定理】

• (f'(x)=limlimits_{Delta x ightarrow 0} frac{Delta y}{Delta x}=limlimits_{Delta x ightarrow 0} frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x})

• ([f(x)pm g(x)]'=f'(x)pm g'(x))

• ([f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x))

• ([frac{f(x)}{g(x)}]'=frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2})

• (frac{d}{dx}f(g(x))=frac{df}{dg}(g(x))frac{dg}{dx}(x))

【基本初等函数的导数公式】

• 若 (f(x)=C) ((C) 为常数 ())，则 (f'(x)=0)

• 若 (f(x)=x^{a}) ((alpha in mathbb{Q}^{*}))，则 (f'(x)=ax^{a-1})

• 若 (f(x)=sin(x))，则 (f'(x)=cos(x))

• 若 (f(x)=cos(x))，则 (f'(x)=-sin(x))

• 若 (f(x)=a^x)，则 (f'(x)=a^xln a)

• 若 (f(x)=e^x)，则 (f'(x)=e^x)

• 若 (f(x)=log_{a}x)，则 (f'(x)=frac{1}{xln a})

• 若 (f(x)=ln x)，则 (f'(x)=frac{1}{x})

2.【积分】

【基本性质、定理】

• (int_{a}^{b} f(x)mathrm{d}x=sumlimits_{i=1}^{n} f(xi_{i})Delta x_i=limlimits_{n ightarrow infty} sumlimits_{i=1}^{n} f[a+frac{i}{n}(b-a)] frac{b-a}{n})

• (int_{a}^{b}f(x)mathrm{d}x=left.F(x) ight|_{a} ^{b}=F(b)-F(a))（其中 (F'(x)=f(x))）

• (int_{a}^{b}kf(x)mathrm{d}x=kint_{a}^{b} f(x)mathrm{d}x)

• (int_{a}^{b}[f(x)pm g(x)]mathrm{d}x=int_{a}^{b}f(x)mathrm{d}xpm int_{a}^{b}g(x)mathrm{d}x)

• (int_{a}^{b}f(x)mathrm{d}x=int_{a}^{c}f(x)mathrm{d}x+int_{c}^{b}f(x)mathrm{d}x)

• (int_{a}^{b}f(x)mathrm{d}x=-int_{b}^{a}f(x)mathrm{d}x)

• (int_{a}^{a}f(x)mathrm{d}x=0)

【基本积分公式】

• (int k\,mathrm{d} x=kx+C) ((C) 为常数 ())

• (int x^a\,mathrm{d}x=frac{x^{a+1}}{a+1}+C) ((a eq -1))

• (int frac{mathrm{d}x}{x}=ln|x|+C)

• (int e^x\,mathrm{d}x=e^x+C)

• (int a^x\,mathrm{d}x=frac{a^x}{ln a}+C)

• (int frac{mathrm{d}x}{1+x^2}=arctan(x)+C)

• (int frac{mathrm{d}x}{sqrt{1-x^2}}=arcsin(x)+C)

• (int cos(x)\,mathrm{d}x=sin(x)+C)

• (int sin(x)\,mathrm{d}x=-cos(x)+C)

• (int frac{mathrm{d}x}{cos^2(x)}\,mathrm{d}x=int sec^2(x)\,mathrm{d}x=tan(x)+C)

• (int frac{mathrm{d}x}{sin^2(x)}\,mathrm{d}x=int csc^2(x)\,mathrm{d}x=-cot(x)+C)

• (int sec(x)tan(x)\,mathrm{d}x=sec(x)+C)

• (int csc(x)cot(x)\,mathrm{d}x=-csc(x)+C)

• 高等数学积分表 ( ext{147}) 个积分公式推导【高等数学吧】

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六：【多项式全家桶】

1.【多项式乘法】

【基本性质、定理】

• (egin{cases} Fleft(omega_{n}^{k} ight)=F lleft(omega_{n / 2}^{k} ight)+omega_{n}^{k} F Rleft(omega_{n / 2}^{k} ight) \ Fleft(omega_{n}^{k+n / 2} ight)=F Lleft(omega_{n / 2}^{k} ight)-omega_{n}^{k} F Rleft(omega_{n / 2}^{k} ight) end{cases}) 【模板】

2.【分治 FFT / NTT】

3.【位运算卷积】

【基本性质、定理】

• ( ext {or :}egin{cases} FWT:left{F_{0}=G_{0}, F_{1}=G_{0}+G_{1} ight} \ IFWT:left{G_{0}=F_{0}, G_{1}=F_{1}-F_{0} ight} end{cases}) 【模板】

• ( ext {and :}egin{cases} FWT:left{F_{0}=G_{0}+G_{1}, F_{1}=G_{1} ight} \ IFWT:left{G_{0}=F_{0}-F_{1}, G_{1}=F_{1} ight} end{cases}) 【模板】

• ( ext {xor :}egin{cases} F W T:left{F_{0}=G_{0}+G_{1}, F_{1}=G_{0}-G_{1} ight} \ I F W T:left{G_{0}=frac{F_{0}+F_{1}}{2}, G_{1}=frac{F_{0}-F_{1}}{2} ight} end{cases}) 【模板】

4.【子集卷积】

5.【拉格朗日插值】

【基本性质、定理】

• 已知一个 (n) 次多项式 (F(x)) 不同的 (n+1) 处点值 ((x_i,y_i)_{iin[0,n]})，则 (F(X)=sum_{i=0}^{n}left(y_{i}prod_{j eq i}frac{X-x_{j}}{x_{i}-x_{j}} ight)) 。【模板】

【推导结论】

• 已知一个 (n) 次多项式 (F(x)) 不同的 (n+1) 处点值 ((i,y_i)_{iin[0,n]})，则 (F(m+x)=frac{(m+x)!}{(m+x-n-1)!}sum_{i=x}^{n+x}frac{1}{m-n+i}g(n+x-i))，其中 (g(i)=frac{y_i(-1)^{n-i}}{i!(n-i)!}) 。【模板】 【例题】

6.【多项式求逆】

【基本性质、定理】

• 设 (F(x)=sum_{n=0}^{infty}a_nx^n,) (F^{-1}(x)=sum_{n=0}^{infty}b_nx^n)，则 (b_0=frac{1}{a_0},b_n=sum_{i=0}^{n-1}b_ileft(-frac{a_{n-i}}{a_0} ight)) 。【模板】

• 设 (F(x)G(x)equiv 1(mod x^{n}),F(x)G(x)^{prime}equiv 1(mod x^{frac{n}{2}}),) 则 (Gequiv 2G^{prime}-FG^{prime 2}(mod x^{n})) 。【证明】 【模板】

7.【多项式开方】

8.【多项式除法 / 取模】

9.【多项式对数函数 / 指数函数】

10.【多项式牛顿迭代】

11.【多项式多点求值 / 快速插值】

12.【多项式三角函数】

13.【多项式反三角函数】

14.【常系数齐次线性递推】

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【参考文献】

• 维基百科、百度百科及全网各大博客

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