[SDOi2012]Longge的问题

题目描述

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

输入输出格式

输入格式：

一个整数，为N。

输出格式：

一个整数，为所求的答案。

输入输出样例

输入样例#1：

6

输出样例#1：

15

说明

对于60%的数据，0<N<=2^16

对于100%的数据，0<N<=2^32

题解

求所有GCD(i,n)的值

枚举出n的所有因数，设为ai，时间复杂度为O(√n)

GCD(i/ai,n/ai)=1,则转化为求n/ai的欧拉函数

将求出的所有欧拉函数之和作为答案

因为n<=2^31，所以O(n)求欧拉函数也不行

用O(√n)的时间在线求出欧拉函数

 Φ=k*(1-1/p1)*(1-1/p2)....(1-1/pk)

p为质因数

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
long long ans,n,m;
long long phi(long long x)
{int i;
    long long s=x;
    int l=sqrt(x);
    for (i=2;i<=l;i++)
    {
        if (x%i==0)
        {
            s=s/i*(i-1);
            while (x%i==0) x=x/i;
        }
    }
    if (x>1) s=s/x*(x-1);
    return s;
}
int main()
{int i;
    cin>>n;
    m=sqrt(n);
     for (i=1;i<=m;i++)
     {
            if (n%i==0)
            {
              ans+=i*phi(n/i);
              if (i*i<n) ans+=(n/i)*phi(i);
            }
     }
 cout<<ans;    
}