[JSOI2008]最小生成树计数

Description

　　现在给出了一个简单无向加权图。你不满足于求出这个图的最小生成树，而希望知道这个图中有多少个不同的
最小生成树。（如果两颗最小生成树中至少有一条边不同，则这两个最小生成树就是不同的）。由于不同的最小生
成树可能很多，所以你只需要输出方案数对31011的模就可以了。

Input

　　第一行包含两个数，n和m，其中1<=n<=100; 1<=m<=1000; 表示该无向图的节点数和边数。每个节点用1~n的整
数编号。接下来的m行，每行包含两个整数：a, b, c，表示节点a, b之间的边的权值为c，其中1<=c<=1,000,000,0
00。数据保证不会出现自回边和重边。注意：具有相同权值的边不会超过10条。

Output

　　输出不同的最小生成树有多少个。你只需要输出数量对31011的模就可以了。

Sample Input

4 6
1 2 1
1 3 1
1 4 1
2 3 2
2 4 1
3 4 1

Sample Output

**定理一：**如果 $A, B$ 同为 $G$ 的最小生成树，且 $A$ 的边权从小到大为 $w(a_1), w(a_2), w(a_3), cdots w(a_n)$，$B$ 的边权从小到大为 $w(b_1), w(b_2), w(b_3), cdots w(b_n)$，则有 $w(a_i) = w(b_i)$。

**定理二：**如果 $A, B$ 同为 $G$ 的最小生成树，如果 $A, B$ 都从零开始从小到大加边（$A$ 加 $A$ 的边，$B$ 加 $B$ 的边）的话，每种权值加完后图的联通性相同。

证明(把证明放到markdown上看)根据定理1

假设边权为w的边有很多

那么每种生成树的w边数是一样的

根据定理2

只要算出每种边权下的方案相乘就行了

算完后给树加边，我们无论怎麽分配w的边，只要尽可能放完就行了

不会因为分配不同就影响到后面大于w的边的分配

假设s1,s2,s3都是之前加的小边构成的树，他们构成一个森林

虚线是边权为w，当前要分配的边

把s1,s2,s3缩成一个点

当前的分配方案就是这个无向图的生成树个数

可以dfs，也可以矩阵树(dfs做法见此)

求完后直接往森林中随便加3条边

但是要考虑这个新图无法建成生成树

如果是这样的情况，虽然没有把森林联通，但显然也要算方案，但是矩阵树算法会算出0

所以还要把这个新图加桥，使得正好联通，不会改变矩阵树算出来的方案

要判断无解的情况

  1 #include<iostream>
  2 #include<cstdio>
  3 #include<cstring>
  4 #include<algorithm>
  5 #include<cmath>
  6 using namespace std;
  7 struct Node
  8 {
  9   int u,v,d;
 10 }edge[2001],edg[2001];
 11 int Mod=31011;
 12 int a[101][101],set[101],tmp[101],set2[101],ans=1,n,m,sum;
 13 bool cmp(Node a,Node b)
 14 {
 15   return a.d<b.d;
 16 }
 17 int gi()
 18 {
 19   char ch=getchar();
 20   int x=0;
 21   while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
 22   while (ch>='0'&&ch<='9')
 23     {
 24       x=x*10+ch-'0';
 25       ch=getchar();
 26     }
 27   return x;
 28 }
 29 int find(int x)
 30 {
 31   if (set[x]!=x) set[x]=find(set[x]);
 32   return set[x];
 33 }
 34 int find2(int x)
 35 {
 36   if (set2[x]!=x) set2[x]=find2(set2[x]);
 37   return set2[x];
 38 }
 39 int guass(int S)
 40 {int i,j,k,as=0;
 41   S--;
 42   for (i=1;i<=S;i++)
 43     {
 44       for (j=1;j<=S;j++)
 45     {
 46       a[i][j]=(a[i][j]+Mod)%Mod;
 47     }
 48     }
 49   as=1;
 50   for (i=1;i<=S;i++)
 51     {
 52       for (j=i+1;j<=S;j++)
 53     while (a[j][i])
 54       {
 55         int t=a[i][i]/a[j][i];
 56         for (k=i;k<=S;k++)
 57           {
 58         　　a[i][k]=(a[i][k]-1ll*t*a[j][k]%Mod+Mod)%Mod;
 59         　　swap(a[i][k],a[j][k]);
 60           }
 61         as*=-1;
 62       }
 63       as=1ll*as*a[i][i]%Mod;;
 64     }
 65   return (as+Mod)%Mod;
 66 }
 67 void cal(int st,int ed)
 68 {int cnt,i;
 69   cnt=0;
 70   for (i=st;i<=ed;i++)
 71     {
 72       edg[i]=edge[i];
 73       int p=find(edg[i].u),q=find(edg[i].v);
 74       edg[i].u=p;edg[i].v=q;
 75       if (p==q) continue;
 76       tmp[++cnt]=edg[i].u;
 77       tmp[++cnt]=edg[i].v;
 78     }
 79   sort(tmp+1,tmp+cnt+1);
 80   cnt=unique(tmp+1,tmp+cnt+1)-tmp-1;
 81   memset(a,0,sizeof(a));
 82   for (i=1;i<=cnt;i++)
 83     set2[i]=i;
 84   for (i=st;i<=ed;i++)
 85     {
 86       if (edg[i].u==edg[i].v) continue;
 87       int p=find(edg[i].u),q=find(edg[i].v);
 88       if (p!=q)
 89     {
 90       --sum;
 91       set[p]=q;
 92     }
 93       int u=lower_bound(tmp+1,tmp+cnt+1,edg[i].u)-tmp;
 94       int v=lower_bound(tmp+1,tmp+cnt+1,edg[i].v)-tmp;
 95       a[u][u]++;a[v][v]++;
 96       a[u][v]--;a[v][u]--;
 97       p=find2(u),q=find2(v);
 98       if (p!=q) set2[p]=q;
 99     }
100   for (i=2;i<=cnt;i++)
101     if (find2(i)!=find2(i-1))
102       {
103     　　int p=find2(i),q=find2(i-1);
104     　　a[p][p]++;a[q][q]++;
105    　　 a[p][q]--;a[q][p]--;
106     　　if (p!=q) set2[p]=q;
107       }
108   ans=1ll*ans*guass(cnt)%Mod;
109 }
110 int main()
111 {int i;
112   cin>>n>>m;
113   for (i=1;i<=m;i++)
114     {
115       edge[i].u=gi();edge[i].v=gi();edge[i].d=gi();
116     }
117   sort(edge+1,edge+m+1,cmp);
118   for (i=1;i<=n;i++)
119     set[i]=i;
120   sum=n;
121   int j;
122   for (i=1;i<=m;i=j)
123     {
124       for (j=i;j<=m;j++)
125     　　if (edge[j].d!=edge[i].d) break;
126       if (j-i>1) cal(i,j-1);
127       else
128     　　{
129       　　int p=find(edge[i].u),q=find(edge[i].v);
130       　　if (p!=q)
131         　　{
132           　　set[p]=q;
133           　　--sum;
134         　　}
135     　　}
136     }
137   if (sum>1) printf("0");
138   else printf("%d",ans);
139 }