[AHOI2006]基因匹配

题目描述

卡卡昨天晚上做梦梦见他和可可来到了另外一个星球，这个星球上生物的DNA序列由无数种碱基排列而成（地球上只有4种），而更奇怪的是，组成DNA序列的每一种碱基在该序列中正好出现5次！这样如果一个DNA序列有N种不同的碱基构成，那么它的长度一定是5N。

卡卡醒来后向可可叙述了这个奇怪的梦，而可可这些日子正在研究生物信息学中的基因匹配问题，于是他决定为这个奇怪星球上的生物写一个简单的DNA匹配程序。

为了描述基因匹配的原理，我们需要先定义子序列的概念：若从一个DNA序列（字符串）s中任意抽取一些碱基（字符），将它们仍按在s中的顺序排列成一个新串u，则称u是s的一个子序列。对于两个DNA序列s1和s2，如果存在一个序列u同时成为s1和s2的子序列，则称u是s1和s2的公共子序列。

卡卡已知两个DNA序列s1和s2，求s1和s2的最大匹配就是指s1和s2最长公共子序列的长度。

[任务] 编写一个程序：

• 从输入文件中读入两个等长的DNA序列；
• 计算它们的最大匹配；
• 向输出文件打印你得到的结果。

输入输出格式

输入格式：

输入文件中第一行有一个整数N，表示这个星球上某种生物使用了N种不同的碱基，以后将它们编号为1…N的整数。

以下还有两行，每行描述一个DNA序列：包含5N个1…N的整数，且每一个整数在对应的序列中正好出现5次。

输出格式：

输出文件中只有一个整数，即两个DNA序列的最大匹配数目。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

2
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 
1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 

输出样例#1： 复制

8
显然有$O(n^2)$的DP
$f[i][j]$表示A串到i，B串到j的最长公共子序列
$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1],[a[i]==b[j]]*(f[i-1][j-1]+1))$
显然有很多多余状态，我们要尽可能利用条件，只考虑相同的碱基
在令$f[i]$为以i为右端点的B串中最长的公共子序列
枚举A来更新
假设$pos$为所有与a[i]相同的b[pos]
那么有f[pos]=max(f[0~pos-1])+1
用树状数组维护区间最大值

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int f[100001],c[100001],n,pos[100001],pre[100001],a[100001],b[100001],ans;
void add(int x,int v)
{
  while (x<=n)
    {
      c[x]=max(c[x],v);
      x+=(x&(-x));
    }
}
int query(int x)
{
  int s=0;
  while (x)
    {
      s=max(s,c[x]);
      x-=(x&(-x));
    }
  return s;
}
int main()
{int i,j;
  cin>>n;
  n=5*n;
  for (i=1;i<=n;i++)
    {
      scanf("%d",&a[i]);
    }
  for (i=1;i<=n;i++)
    {
      scanf("%d",&b[i]);
    }
  for (i=1;i<=n;i++)
    {
      pre[i]=pos[b[i]];
      pos[b[i]]=i;
    }
  for (i=1;i<=n;i++)
    {
      for (j=pos[a[i]];j;j=pre[j])
    {
      f[j]=max(f[j],query(j-1)+1);
      ans=max(ans,f[j]);
      add(j,f[j]);
    }
    }
  cout<<ans;
}