数学分析--实数和数列极限--数轴

数轴

数轴是表示实数的一种几何方法

• 画一条水平直线
• 任意在直线上选一定点，记为O，称为原点
• 在原点右方的直线，取定一点，把O到这一点的距离定位单位长度，这一点用数1来表示，直线上的每一点都可以用一个数来表示
• 若这个点在点O的右边，称为正数；若这个点在点O的左边，称为负数
• 实数的全体同这条直线上点一对一对应起来，这条直线称为数轴

内点

• 开区间中所有的点，称为该区间的

不等式

• 不等式在数轴上表示是非常形象的，a<b，即a在b的左边

绝对值

• 一个数x的绝对值指它到原点的距离，记为 |x|
• 当 x≠0 时，绝对值为|x|的点有两个，即 -x 和 x
• 点x和y之间的距离 |x - y|
• 以a和b为端点的开区间（或闭区间）的长度是|a - b|
• 对任何实数x与y，-|x| ≤ x ≤ |x|，-|y| ≤ y ≤ |y|，将两式相加，得出 -(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y|
• 上式等价于三角不等式（两边之和大于第三边），式中等号成立的条件是x与y中至少有一个等于0，或者x与y有相同的正负号

有理数

• 任何有理数都可以表示为两个整数之商，r = p/q
• 上式中p，q都是整数，且q≠0
• 有理数经过加、减、乘、除（除数不能是0）四则运算之后仍是有理数
• 全体有理数组成一个数域
• 每一个实数都能用有理数去逼近到任意精确的程度，意味着有理数在数轴上是稠密的

无理数

• 为了度量的需要光有有理数是不够的（n不是完全平方数，n^1/2不是有理数），因此引入无理数