BZOJ2752: [HAOI2012]高速公路(road)

Y901高速公路是一条重要的交通纽带，政府部门建设初期的投入以及使用期间的养护费用都不低，因此政府在这条高速公路上设立了许多收费站。
Y901高速公路是一条由N-1段路以及N个收费站组成的东西向的链，我们按照由西向东的顺序将收费站依次编号为1~N，从收费站i行驶到i+1(或从i+1行驶到i)需要收取Vi的费用。高速路刚建成时所有的路段都是免费的。
政府部门根据实际情况，会不定期地对连续路段的收费标准进行调整，根据政策涨价或降价。
无聊的小A同学总喜欢研究一些稀奇古怪的问题，他开车在这条高速路上行驶时想到了这样一个问题:对于给定的l,r(l<r),在第l个到第r个收费站里等概率随机取出两个不同的收费站a和b，那么从a行驶到b将期望花费多少费用呢?

第一行2个正整数N,M，表示有N个收费站，M次调整或询问
接下来M行，每行将出现以下两种形式中的一种
C l r v 表示将第l个收费站到第r个收费站之间的所有道路的通行费全部增加v
Q l r 表示对于给定的l,r，要求回答小A的问题
所有C与Q操作中保证1<=l<r<=N

对于每次询问操作回答一行，输出一个既约分数
若答案为整数a，输出a/1

4 5
C 1 4 2
C 1 2 -1
Q 1 2
Q 2 4
Q 1 4

1/1
8/3
17/6

数据规模
所有C操作中的v的绝对值不超过10000
在任何时刻任意道路的费用均为不超过10000的非负整数
所有测试点的详细情况如下表所示
Test N M
1 =10 =10
2 =100 =100
3 =1000 =1000
4 =10000 =10000
5 =50000 =50000
6 =60000 =60000
7 =70000 =70000
8 =80000 =80000
9 =90000 =90000
10 =100000 =100000

题解Here!

首先一看，区间修改、区间询问。。。

线段树，上！

$$ans=frac{ ext{询问的公路区间的所有子区间权值和}}{ ext{子区间数量}}$$

子区间数量很好求，假设询问的区间长度为$L$，那么有：$$ ext{子区间数量}=C_L^2=frac{L(L-1)}{2}$$

于是问题就变成了：怎样求分子？

我们知道：$$Ans=2sum_{i=l}^rsum_{j=i+1}^r[sum(j)-sum(i-1)],sum(x)=sum_{i=1}^xv_i$$

很显然用线段树维护对吧。。。

关键就是$pushup,pushdown$怎么写。。。

设$data(x)$为区间权值和，$width(x)$为区间长度。

设$lsum(x)$为从最左端开始的连续子区间权值和，即：$$lsum(x)=sum_{r=1}^{len}sum_{i=1}^rv_i$$

$rsum(x)$为从最右端开始的连续子区间和，即：$$rsum(x)=sum_{l=1}^{len}sum_{i=l}^{len}v_i$$

那么$pushup$就长这个样子:

$$left.egin{array}{}data(rt)=data(lson)+data(rson)\width(rt)=width(lson)+width(rson)\lsum(rt)=lsum(lson)+(lsum(rson)+data(lson) imes width(rson))\rsum(rt)=rsum(rson)+(rsum(lson)+data(rson) imes width(lson))\sum(rt)=sum(lson)+sum(rson)+rsum(lson) imes width(rson)+lsum(rson) imes width(lson)end{array} ight.$$

最后一个式子，首先考虑全在左半区间的子区间，再考虑全在右半区间的，最后考虑跨越的。

这个用一种“贡献”的思想考虑，每个从左半区间右边开始的子区间，都会与右半区间一个右端点结合，右半区间左边开始的子区间同理。

这玩意感性理解一下就好。。。

然后是修改与$pushdown$（其中$c$为标记）：
$$left.egin{array}{}data(rt)+=c imes width(rt)\lsum(rt)+=frac{width(rt)(width(rt)+1)}{2} imes c\rsum(rt)+=frac{width(rt)(width(rt)+1)}{2} imes cend{array} ight.$$

那，$sum(rt)$怎么办呢？

我们可以考虑长度为$i$的子区间有多少个：
$$sum(rt)+=sum_{i=1}^{width(rt)}i imes (width(rt)-i+1) imes c$$

$$Rightarrow sum(rt)+=[width(rt) imes frac{(1+width(rt))width(rt)}{2}-sum_{i=1}^{width(rt)}i imes (i-1)] imes c$$

设$s=sum_{i=1}^{width(rt)}(i-1)$。

则：$s+frac{width(rt)(width(rt)-1)}{2}=sum_{i=1}^{width(rt)}i^2$

$$Rightarrow sum(rt)+=(frac{(1+width(rt))^2width(rt)}{2}-sum_{i=1}^{width(rt)}i^2) imes c$$

到此，我们对问题的分析结束了。

但是那个$sum_{i=1}^xi^2$怎么整？

没事！我们有公式：（小学奥数/高中必修）

$$sum_{i=1}^xi^2=frac{x(x+1)(2x+1)}{6}$$

然后写个$gcd$约去公约数，输出一下即可。

然后就没有了。。。

附上代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define LSON rt<<1
#define RSON rt<<1|1
#define DATA(x) a[x].data
#define SUM(x) a[x].sum
#define LSUM(x) a[x].lsum
#define RSUM(x) a[x].rsum
#define SIGN(x) a[x].c
#define LSIDE(x) a[x].l
#define RSIDE(x) a[x].r
#define WIDTH(x) (RSIDE(x)-LSIDE(x)+1)
#define MAXN 100010
using namespace std;
int n,m;
struct Segment_Tree{
	long long data,sum,lsum,rsum,c;
	int l,r;
}a[MAXN<<2];
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
inline long long get_num(long long x){return 1LL*x*(x+1)/2;}
inline long long get_sum(long long x){return 1LL*x*(x+1)*(x<<1|1)/6;}
long long gcd(long long x,long long y){return !y?x:gcd(y,x%y);}
inline void pushup(int rt){
	DATA(rt)=DATA(LSON)+DATA(RSON);
	LSUM(rt)=LSUM(LSON)+LSUM(RSON)+DATA(LSON)*WIDTH(RSON);
	RSUM(rt)=RSUM(LSON)+RSUM(RSON)+DATA(RSON)*WIDTH(LSON);
	SUM(rt)=SUM(LSON)+SUM(RSON)+LSUM(RSON)*WIDTH(LSON)+RSUM(LSON)*WIDTH(RSON);
}
inline void pushdown(int rt){
	if(!SIGN(rt)||LSIDE(rt)==RSIDE(rt))return;
	//----------------------------------------------------------------------------------------------------
	SIGN(LSON)+=SIGN(rt);
	DATA(LSON)+=SIGN(rt)*WIDTH(LSON);
	LSUM(LSON)+=SIGN(rt)*get_num(WIDTH(LSON));
	RSUM(LSON)+=SIGN(rt)*get_num(WIDTH(LSON));
	SUM(LSON)+=SIGN(rt)*(get_num(WIDTH(LSON))*(1LL+WIDTH(LSON))-get_sum(WIDTH(LSON)));
	//----------------------------------------------------------------------------------------------------
	SIGN(RSON)+=SIGN(rt);
	DATA(RSON)+=SIGN(rt)*WIDTH(RSON);
	LSUM(RSON)+=SIGN(rt)*get_num(WIDTH(RSON));
	RSUM(RSON)+=SIGN(rt)*get_num(WIDTH(RSON));
	SUM(RSON)+=SIGN(rt)*(get_num(WIDTH(RSON))*(1LL+WIDTH(RSON))-get_sum(WIDTH(RSON)));
	//----------------------------------------------------------------------------------------------------
	SIGN(rt)=0;
}
void buildtree(int l,int r,int rt){
	LSIDE(rt)=l;RSIDE(rt)=r;
	DATA(rt)=LSUM(rt)=RSUM(rt)=SUM(rt)=SIGN(rt)=0;
	if(l==r)return;
	int mid=l+r>>1;
	buildtree(l,mid,LSON);
	buildtree(mid+1,r,RSON);
	pushup(rt);
}
void update(int l,int r,long long c,int rt){
	if(l<=LSIDE(rt)&&RSIDE(rt)<=r){
		SIGN(rt)+=c;
		DATA(rt)+=c*WIDTH(rt);
		LSUM(rt)+=c*get_num(WIDTH(rt));
		RSUM(rt)+=c*get_num(WIDTH(rt));
		SUM(rt)+=c*(get_num(WIDTH(rt))*(1LL+WIDTH(rt))-get_sum(WIDTH(rt)));
		return;
	}
	pushdown(rt);
	int mid=LSIDE(rt)+RSIDE(rt)>>1;
	if(l<=mid)update(l,r,c,LSON);
	if(mid<r)update(l,r,c,RSON);
	pushup(rt);
}
Segment_Tree query(int l,int r,int rt){
	if(l<=LSIDE(rt)&&RSIDE(rt)<=r)return (Segment_Tree){DATA(rt),SUM(rt),LSUM(rt),RSUM(rt),WIDTH(rt),0,0};
	pushdown(rt);
	int mid=LSIDE(rt)+RSIDE(rt)>>1;
	Segment_Tree ans,lson=(Segment_Tree){0,0,0,0,0,0,0},rson=(Segment_Tree){0,0,0,0,0,0,0};
	if(l<=mid)lson=query(l,r,LSON);
	if(mid<r)rson=query(l,r,RSON);
	//----------------------------------------------------------------------------------------------------
	ans.data=lson.data+rson.data;
	ans.lsum=lson.lsum+rson.lsum+lson.data*rson.c;
	ans.rsum=lson.rsum+rson.rsum+rson.data*lson.c;
	ans.sum=lson.sum+rson.sum+lson.rsum*rson.c+rson.lsum*lson.c;
	ans.c=lson.c+rson.c;
	//----------------------------------------------------------------------------------------------------
	return ans;
}
void work(){
	char ch[2];
	int x,y,k;
	while(m--){
		scanf("%s",ch);x=read();y=read();
		if(ch[0]=='C'){
			k=read();
			update(x,y-1,k,1);
		}
		else{
			Segment_Tree ans=query(x,y-1,1);
			long long ans_up=ans.sum,ans_down=get_num(y-x);
			long long t=gcd(ans_up,ans_down);
			ans_up/=t;ans_down/=t;
			printf("%lld/%lld
",ans_up,ans_down);
		}
	}
}
void init(){
	n=read();m=read();
	buildtree(1,n,1);
}
int main(){
	init();
	work();
    return 0;
}

BZOJ2752: [HAOI2012]高速公路(road)

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Output

Sample Input

Sample Output

HINT

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