DP之背包经典三例

0/1背包 HDU2602

01背包（ZeroOnePack）: 有N件物品和一个容量为V的背包，每种物品均只有一件。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。 

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。 

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是： 

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

把这个过程理解下：

在前i件物品放进容量v的背包时，它有两种情况

情况一: 第i件不放进去，这时所得价值为:f[i-1][v]

情况二: 第i件放进去，这时所得价值为：f[i-1][v-c[i]]+w[i] 

（第二种是什么意思？就是如果第i件放进去，那么在容量v-c[i]里就要放进前i-1件物品） 

最后比较第一种与第二种所得价值的大小，哪种相对大，f[i][v]的值就是哪种。  （这里是重点，理解！） 

这里是用二维数组存储的，可以把空间优化，用一维数组存储。 

用f[0..v]表示，f[v]表示把前i件物品放入容量为v的背包里得到的价值。把i从1~n(n件)循环后，最后f[v]表示所求最大值。

这里f[v]就相当于二维数组的f[i][v]。那么，如何得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]？（重点！思考）

首先要知道，我们是通过i从1到n的循环来依次表示前i件物品存入的状态。

即：for i=1..N

现在思考如何能在是f[v]表示当前状态是容量为v的背包所得价值，而又使f[v]和f[v-c[i]]+w[i]标签前一状态的价值？ 

逆序

这就是关键！ 

123	for i=1..N for v=V..0 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

分析上面的代码：当内循环是逆序时，就可以保证后一个f[v]和f[v-c[i]]+w[i]是前一状态的！这里给大家一组测试数据：  测试数据： 10,3 3,4 4,5 5,6 

图2: 01背包图(1)

这个图表画得很好，借此来分析： 

C[v]从物品i=1开始，循环到物品3，期间，每次逆序得到容量v在前i件物品时可以得到的最大值。

Bone Collector

Problem Description

Many years ago , in Teddy’s hometown there was a man who was called “Bone Collector”. This man like to collect varies of bones , such as dog’s , cow’s , also he went to the grave …
The bone collector had a big bag with a volume of V ,and along his trip of collecting there are a lot of bones , obviously , different bone has different value and different volume, now given the each bone’s value along his trip , can you calculate out the maximum of the total value the bone collector can get ?

Input

The first line contain a integer T , the number of cases.
Followed by T cases , each case three lines , the first line contain two integer N , V, (N <= 1000 , V <= 1000 )representing the number of bones and the volume of his bag. And the second line contain N integers representing the value of each bone. The third line contain N integers representing the volume of each bone.

Output

One integer per line representing the maximum of the total value (this number will be less than 2³¹).

Sample Input

15 101 2 3 4 55 4 3 2 1

Sample Output

14

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int main()
{
    int t;
    int pack, maxv;
    int weight[1005], value[1005];
    int record[1005];
    scanf("%d", &t);
    while (t--)
    {
        memset(record, 0, sizeof(record));
        scanf("%d %d", &pack, &maxv);
        for (int i = 0; i < pack; i++)
            scanf("%d", &value[i]);
        for (int i = 0; i < pack; i++)
            scanf("%d", &weight[i]);
        for(int i=0;i<pack;i++)
            for (int j = maxv; j >= weight[i]; --j)
            {
                if (record[j - weight[i]] + value[i] > record[j])
                    record[j] = record[j - weight[i]] + value[i];
            }
        printf("%d
", record[maxv]);
    }
    return 0;
}

完全背包 HDU 1248

寒冰王座

Problem Description

不死族的巫妖王发工资拉,死亡骑士拿到一张N元的钞票(记住,只有一张钞票),为了防止自己在战斗中频繁的死掉,他决定给自己买一些道具,于是他来到了地精商店前.

死亡骑士:"我要买道具!"

地精商人:"我们这里有三种道具,血瓶150块一个,魔法药200块一个,无敌药水350块一个."

死亡骑士:"好的,给我一个血瓶."

说完他掏出那张N元的大钞递给地精商人.

地精商人:"我忘了提醒你了,我们这里没有找客人钱的习惯的,多的钱我们都当小费收了的,嘿嘿."

死亡骑士:"......"

死亡骑士想,与其把钱当小费送个他还不如自己多买一点道具,反正以后都要买的,早点买了放在家里也好,但是要尽量少让他赚小费.

现在死亡骑士希望你能帮他计算一下,最少他要给地精商人多少小费.

Input

输入数据的第一行是一个整数T(1<=T<=100),代表测试数据的数量.然后是T行测试数据,每个测试数据只包含一个正整数N(1<=N<=10000),N代表死亡骑士手中钞票的面值.

注意:地精商店只有题中描述的三种道具.

Output

对于每组测试数据,请你输出死亡骑士最少要浪费多少钱给地精商人作为小费.

Sample Input

2
900
250

Sample Output

0

50

//解法一：纯粹暴力 时间复杂度 O(n^3) n=100;
#include<stdio.h>
 int main()
{
  int t,n,i,j,k;
  int price;
  scanf("%d",&t);
  while(t--)
{
  int max=0;
  scanf("%d",&n);
  for(i=0;i<100;i++)
  for(j=0;j<100;j++)
  for(k=0;k<100;k++)
{
  price=150*i+200*j+350*k;
  if(price<=n&&price>=max)
  max=price;
}
  printf("%d
",n-max);
}
return 0;
}

//解法二：DP完全背包
#include<stdio.h>
#include<string.h>
int max(int a,int b)
{
return a>b?a:b;
}
int main()
{
int i,j,m,n;
int dp[10001];
int a[3]={150,200,350};
scanf("%d",&n);
while(n--)
{
scanf("%d",&m);
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(i=0;i<3;i++)
{
for(j=a[i];j<=m;j++)
{
dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i]]+a[i]);
}
}
printf("%d
",m-dp[m]);
}
return 0;
}

多重背包 HDU2191

Problem Description

急！灾区的食物依然短缺！
为了挽救灾区同胞的生命，心系灾区同胞的你准备自己采购一些粮食支援灾区，现在假设你一共有资金n元，而市场有m种大米，每种大米都是袋装产品，其价格不等，并且只能整袋购买。
请问：你用有限的资金最多能采购多少公斤粮食呢？

Input

输入数据首先包含一个正整数C，表示有C组测试用例，每组测试用例的第一行是两个整数n和m(1<=n<=100, 1<=m<=100),分别表示经费的金额和大米的种类，然后是m行数据，每行包含3个数p，h和c(1<=p<=20,1<=h<=200,1<=c<=20)，分别表示每袋的价格、每袋的重量以及对应种类大米的袋数。

Output

对于每组测试数据，请输出能够购买大米的最多重量，你可以假设经费买不光所有的大米，并且经费你可以不用完。每个实例的输出占一行。

Sample Input

18 22 100 44 100 2

Sample Output

 

400

 #include<stdio.h>
#include<string.h>
int main()
{
    int dp[150];
    int p[150],h[150],c[150];
    int C;
    scanf("%d",&C);
    while(C--)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        int m,n;
        scanf("%d %d",&n,&m);//两个整数n和m分别表示经费的金额和大米的种类
        for(int i=0;i<m;i++)
        scanf("%d %d %d",&p[i],&h[i],&c[i]);//每袋的价格、每袋的重量以及对应种类大米的袋数
        for(int i=0;i<m;i++)
            for(int j=0;j<c[i];j++)
                for(int k=n;k>=p[i];--k)
                    if(dp[k]<dp[k-p[i]]+h[i])
                        dp[k]=dp[k-p[i]]+h[i];
        printf("%d
",dp[n]);
    }
    return 0;
 }

多重背包只要在完全背包的基础上加一个循环，把j=0~bag[i]，表示把第i钟背包从0枚举到bag[i]件即可。