AHOI2012树屋阶梯

这玩意不是卡特兰的经典模型吗……

我们设方案数为f(i)，则f(0)=1,f(1)=1，f(2)=2,f(3)=5，（其实到这里你再手模一个就出来了）我们把左上角的矩形删掉，则会变成下方和右方两个更小规模的问题（如果没有就是f(0)喽），拿样例举例f(3)=f(2)的一种情况*f(0)+f(2)的另一种情况*f(0)+f(1)*f(1)+f(0)*f(2)的一种情况+f(0)*f(2)的另一种情况，总结一下，f(3)=$∑_{i=0}^{2}f(i)*f(2-i)$，对所有情况进行归纳，则得到Cat数O(n^2)的那个递归的式子。

至于算的时候，直接O(n)唯一分解接高精就搞定了，（至于你不懂什么叫O(n)唯一分解，你可以去看代码或上一篇博客）。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
int n,prime[1000],prime_num;
bool v[1050];
struct Bigint{
    int a[10000],len;
    void clear(){
        memset(a,0,sizeof(a));
        len=1;
        a[1]=1;
    }
    friend void operator *(Bigint &x,int y){
        int delta=0;
        for(int i=1;i<=x.len;i++){
            x.a[i]=x.a[i]*y+delta;
            delta=x.a[i]/10;
            x.a[i]%=10;
        }
        while(delta>0){
            x.a[++x.len]=delta%10;
            delta/=10;
        }
        while(x.a[x.len]==0&&x.len>1)
            --x.len;
    }
    void out(){
        for(int i=len;i>=1;i--)
            printf("%d",a[i]);
    }
}ans;
void doprime(int x){
    for(int i=2;i<=x;i++){
        if(!v[i]) prime[++prime_num]=i;
        for(int j=1;j<=prime_num&&i*prime[j]<=x;j++){
            v[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    doprime(2*n+2);ans.clear();
    for(int i=1;i<=prime_num;i++){
        long long s=0;
        for(int j=2*n;j/=prime[i];) s+=j;
        for(int j=n;j/=prime[i];) s-=j;
        for(int j=n+1;j/=prime[i];) s-=j;
        for(int j=1;j<=s;j++)
            ans*prime[i];
    }
    ans.out();
    return 0;
}

至此Cat三题吸收完毕。