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  • 关于Hall定理的学习

    基本定义

    (Hall) 定理是二分图匹配的相关定理
    用于判断二分图是否存在完美匹配
    存在完美匹配的二分图即满足最大匹配数为 (min(|X|,|Y|)) 的二分图,也就是至少有一边的点全部被匹配到了

    定理

    (M(U)) 为与 (U) 中的点相连的点集,一个二分图 (U,V(|U|<=|V|)) 存在完美匹配,满足对于任意点集 (x∈U) 都有 (|M(X)|>=|X|)

    必要性证明

    连出去的边数都不足点数,那么显然不能构成完美匹配

    充分性证明

    假如存在一个满足 (Hall) 定理的二分图 , 且不满足完美匹配
    那么假设两边都存在一个未匹配的点 , 由于满足 (Hall) 定理 , 这个没有被匹配的点肯定有一条没有被匹配的边
    那么假设这条边对面的点被匹配过了 , 这个点和那个未匹配的点组成 (|X|) 后, 这个点又一定连向了除它匹配的点外的至少一个点
    这样下去就一定可以找到这条增广路了 , 所以一定是可以满足完美匹配的

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