线性DP模板

• 最长上升子序列

  • 定义

    • 设有由(n)个不相同的整数组成的数列，记为: (b_1,b_2...b_n)且(b_i!=b_j(i!=j))，
      若存在(i_1<i_2<...<i_n)且有(b_{i_1}<b_{i_2}...<b_{i_3})则称为长度为(e)的不下降序列。

  • (O(n^2))的做法

  • int lis(int a[], int n) {
        int f[N], ans = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) f[i] = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j < i; j++)
                if (a[j] < a[i] && f[i] < f[j] + 1)
                    f[i] = f[j] + 1;
            ans = max(ans, f[i]);
        }
        return ans;
    }
    

  • (O(n log n))的做法

    • 对于(n^2)的写法，状态是无法优化的，第二维是求(j~i)符合条件的最大子序列和
      (b(i))定义为长度为(i)的最后一位数

    • 看定义可能不太懂,因为我就没看懂
      看着挺复杂，其实也没啥，看代码注释吧

  • int lis(int a[], int n) {
        int f[N], cnt = 1;
        f[cnt] = a[1];
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            if (a[i] > f[cnt]) f[++cnt] = a[i];
            //求上升序列，如果a[i]比最后一位大，就在后面再添一个
            else f[lower_bound(f+1, f+cnt+1, a[i])-f] = a[i];
            //找到比他小的替换掉他
            //upper_bound() 用到库<algorithm>
            //也可以手写二分
        }
        return cnt;
    }
    

• 最长公共子串

  • 定义

    • 一列字符C既是A的子串，又是B的子串，就称C为A和B的公共子串
      （这里子串指的是连续的）

  • (O(n^2))

  • scanf("%s %s", a+1, b+1);
    n = strlen(a+1); m = strlen(b+1);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = m; j > 0; j--) {
            if (a[i] == b[j])
                s[j] = s[j-1] + 1, ans = max(ans, s[j]);
            else s[j] = 0;
        }
    

• 最长公共子序列

  • 定义

    • 一列字符C既是A的子序列，又是B的子序列，就称C为A和B的公共子序列
      （这里子序列可以不连续）

  • (O(n^2))

  • for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            if (a[i] == b[j]) f[i][j] = f[i-1][j-1] + 1;
            else f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-1]);
    //f[n][n]为最后的结果
    

  • (O(nlogn))

    • 没有重复数字的直接用离散化处理，有重复的用vector记录，放进b数组的时候按从后往前的顺序排列

  • 无重复

  • scanf("%d", &n);
    tot = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &a[i]), m[a[i]] = ++tot;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &b[i]), b[i] = m[b[i]];
    tot = 0;
    s[++tot] = b[1];
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        if (s[tot] < b[i]) s[++tot] = b[i];
        else s[lower_bound(s+1, s+tot+1, b[i])-s] = b[i];
    }
    printf("%d
    ", tot);
    

  • 有重复

  • scanf("%d", &n);
    for (int i = 1, x; i <= n; i++)
        scanf("%d", &x), m[x].push_back(i);
    for (int i = 1, x; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &x);
        for (int j = m[x].size()-1; j >= 0; j--)
            a[++len] = m[x][j];
    }
    f[cnt=1] = a[1];
    for (int i = 2; i <= len; i++)
        if (a[i] > f[cnt]) f[++cnt] = a[i];
        else f[lower_bound(f+1, f+cnt+1, a[i])-f] = a[i];
    printf("%d
    ", cnt);