题解
神仙。
考虑这个循环小数的循环节为(l)。
那么有
[frac{x}{y}-leftlfloordfrac{x}{y}
ight
floor=frac{xk^l}{y}-leftlfloordfrac{xk^l}{y}
ight
floor
]
[x-leftlfloordfrac{x}{y}
ight
floor*y=xk^l-leftlfloordfrac{xk^l}{y}
ight
floor*y
]
[x=xk^l mod y
]
[k^l=1 mod y
]
根据数论知识可得((k,y)==1)。
然后我们设(f(n,m,k))表示答案。
[f(n,m,k)=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m [(i,j)==1][(j,k)==1]
]
[sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[(i,j)==1]sum_{d|(j,k)}mu(d)
]
[sum_{i=1}^nsum_{jd=1}^m[(i,jd)==1]sum_{d|k}mu(d)
]
[sum_{d|k}mu(d)sum_{i=1}^nsum_{j=1}^{frac{m}{d}}(i,jd)==1
]
[sum_{d|k}mu(d)sum_{i=1}^nsum_{j=1}^{frac{m}{d}}[(i,j)==1][(i,d)==1]
]
[sum_{d|k}mu(d)f(frac{m}{d},n,d)
]
然后就可以做了。
注意边界：(m)或n为(0)时值为(0)，当(d=1)的时候就除法分块一下。
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define N 6000009
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=6000000;
vector<int>vec[2002];
bool vis[N];
int prime[N],mu[N],n,m,k;
inline ll rd(){
ll x=0;char c=getchar();bool f=0;
while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=getchar();}
while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
return f?-x:x;
}
struct node{
int n,m,k;
inline bool operator <(const node &b)const{
if(n!=b.n)return n<b.n;
if(m!=b.m)return m<b.m;
if(k!=b.k)return k<b.k;
}
};
map<node,ll>mp;
map<int,int>rec;
inline void prework(int n){
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i){
if(!vis[i]){prime[++prime[0]]=i;mu[i]=-1;}
for(int j=1;j<=prime[0]&&(i*prime[j])<=maxn;++j){
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0){
mu[i*prime[j]]=0;
break;
}
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
}
for(int i=1;i<=n;++i)mu[i]+=mu[i-1];
}
inline int getsum(int n){
if(n<=maxn)return mu[n];
if(rec.find(n)!=rec.end())return rec[n];
int ans=1;ll r=0;
for(int l=2;l<=n;l=r+1){
r=n/(n/l);
ans-=(r-l+1)*getsum(n/l);
}
return rec[n]=ans;
}
inline ll work(int n,int m,int k){
if(!n||!m)return 0;
node x=node{n,m,k};
if(mp.find(x)!=mp.end())return mp[x];
ll ans=0;
if(k==1){
ll r=0;int x=min(n,m);
for(ll l=1;l<=x;l=r+1){
r=min(n/(n/l),m/(m/l));
ans+=1ll*(getsum(r)-getsum(l-1))*(n/l)*(m/l);
}
}
else{
for(vector<int>::iterator it=vec[k].begin();it!=vec[k].end();++it){
int v=*it;
ans+=work(m/v,n,v)*(mu[v]-mu[v-1]);
if(v>m)break;
}
}
return mp[x]=ans;
}
int main(){
n=rd();m=rd();k=rd();
prework(maxn);
for(int i=1;i<=k;++i)if(mu[i]-mu[i-1]!=0){
int x=i;
while(x<=k){
vec[x].push_back(i);
x+=i;
}
}
printf("%lld",work(n,m,k));
return 0;
}