差分
算子
无限微积分中, 符号(D)为微分算子. 我们有:
[Df(x) = lim_{h o 0} frac{f(x + h) - f(x)}h
]
在有限微积分中, 类似地我们定义差分算子(Delta):
[Delta f(x) = f(x + 1) - f(x)
]
我们注意到, (D)与(Delta)都被称为算子, 因为它们作用在函数上, 给出新的函数.
下降幂与上升幂
在微积分中, 我们有对于函数
[f(x) = x^m
]
我们将其微分, 有
[Df(x) = mx^{m - 1}
]
那么, 在整数范围内, 是否也有类似的东西呢?
我们考虑用(Delta)来表示类似于(d)的东西, 我们称其为算子, 其作用是在函数上给出新的函数, 也就是说, 它们是函数的函数, 用于产生函数.
我们考虑计算一些类似的情况:
[Delta(x^3) = (x + 1)^3 - x^3 = 3x^2 + 3x + 1
]
好吧, 我们发现, 通过这种方式求出的算子是非常不优美的, 难以与微积分得到的结果相提并论.
然而, 这是否就意味着有限微积分难以实现呢? 非也. 让我们抛弃原有的幂运算, 定义一种新的运算: 下降幂和上升幂, 也就是(x^{underline{m}})和(x^{overline{m}}).
[x^{underline m} = x(x - 1)(x - 2) ... (x - m + 1)
]
[x^{overline m} = x(x + 1)(x + 2) ... (x + m - 1)
]
差分算子
尝试在下降幂的基础上计算算子(Delta), 我们会得到如下结果(注意, 在有限微积分中我们一般考虑的都是下降幂):
[egin{aligned}
Delta(x^{underline m}) &= (x + 1)^{underline m} - x^{underline m} \
&= (x + 1)x(x - 1)(x - 2) ... (x - m + 2) - x(x - 1)(x - 2) ... (x - m + 1) \
&= mx(x- 1)(x - 2) ... (x - m + 2) \
&= mx^{underline{m - 1}}
end{aligned}
]
这个结论还是非常优美的
求和
关于不定积分和定积分
首先需要搞清楚的问题是: 不定积分和定积分有什么区别?
-
不定积分是微分算子(D)的逆运算, 求的是一个函数的原函数.
-
定积分求的是一个函数的图形在一个闭区间上和(x)坐标轴围成的面积.
-
不定积分和定积分之间的关系由牛顿-莱不尼茨公式联系起来:
-
[假设F为f的原函数 \
则有int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)
]
不定和式
考虑在无线微积分中, 我们是如何把积分算子(int)与微分算子(D)联系起来的:
[g(x) = Df(x)当且仅当int g(x)dx = f(x) + C
]
这里(int g(x)dx)是(g(x))的不定积分.
类似的, (Delta)也有一个逆运算, 即求和算子(sum):
[g(x) = Delta f(x)当且仅当sum g(x)delta(x) = f(x) + C
]
这里的(sum g(x)delta(x))是(g(x))的不定和式, 它得到的是一个差分等于(g(x))的函数类.
和式
我们注意到, 无限微积分同时也有定积分, 比如说, 假如(g(x) = Df(x)), 则有
[int_a^b g(x)dx = f(x)|_a^b = f(b) - f(a)
]
因此有限微积分也有类似的确定的和式: 如果(g(x) = Delta f(x)), 那么
[sum_a^b g(x)delta x = f(x)|_a^b = f(b) - f(a)
]
考虑(sum_a^b g(x)delta x)的意义是什么? 比如说(a = b)的情况:
[sum_a^b g(x)delta x = f(b) - f(a) = f(a) - f(a) = 0
]
再比如说(b = a + 1)的情况:
[sum_a^b = f(a + 1) - f(a) = g(a)
]
因此我们发现, (sum_a^b g(x)delta x)的确切含义是
[sum_a^b g(x)delta x = sum_{k = a}^{b - 1} g(k) = sum_{a le k < b} g(k)
]
因此我们要注意去掉上界处的值.
然而, 我们发现以上这种情况要求(a le b), 假如(a > b)会发生什么呢?
[egin{aligned}
sum_a^b g(x)delta x &= f(b) - f(a) \
&= -(f(a) - f(b)) \
&= - sum_b^a g(x)delta x
end{aligned}
]
这是与定积分对应的方程. 同时, 我们还发现(sum_a^b sum_b^c = sum_a^c), 这与(int a^b + int_b^c = int_a^c)相类似.
以上这些结果有什么用呢? 显然是有用的. 这种平行和类似 的结果得到了如下结论:
[sum_{0 le k < n} k^{underline{m}} = frac{n^{underline{m + 1}}}{m + 1}
]
这样强行平行过来, 我也很绝望啊
有了这个结论, 我们就可以轻易地完成这个问题:
[sum_{0 le k < n}k = frac{n^2}{2} = n(n - 1) / 2
]
通常的幂也可以用类似方法求和:
[k^2 = k^{underline{2}} + k^{underline{1}}
]
因此有:
[egin{aligned}
sum_{0 le k < n} k^2 &= frac{n^{underline{2 + 1}}}{2 + 1} + frac{n^{underline{1 + 1}}}{1 + 1} \
&= frac 1 3 n(n - 1)(n - 2) + frac 1 2 n(n - 1) \
&= frac{(n - 1)n(2n - 1)} 6
end{aligned}
]
这就通过更简单的方法解决了之前提到的问题.
考虑更进一步, 计算立方和. 我们有:
[k^3 = k^{underline{3}} + 3k^{underline{2}} + k
]
因此我们得到了
[egin{aligned}
sum_{0 le k < b} k^3 = frac{k^{underline{4}}} 4 + k^{underline{3}} + frac{k^{underline{2}}} 2
end{aligned}
]
(实际上自然数幂求和的其中一种方法就是这样)
次数为负的下降幂
我们注意到, 以上的所有内容都满足(x^{underline{m}})中(m ge 0). 考虑(m < 0)是什么样的情况呢?
我们注意到
[x^{underline{3}} = x(x - 1)(x - 2) \
x^{underline{2}} = x(x - 1) \
x^{underline{1}} = x \
x^0 = 1
]
因此
[x^{underline{m}} = x^{underline{m + 1}} / (x - m)
]
往下推进得到:
[x^{underline{-1}} = x^{underline{0}} / (x - (-1)) = x^{underline{0}} / (x + 1) = frac 1 {x + 1} \
x^{underline{-2}} = frac 1 {(x + 1)(x + 2)} \
... \
x^{-m} = frac 1 {(x + 1)(x + 2) ... (x + m)}, space m > 0
]
有了这个定义, 下降幂就得到了更多优良的性质:
[x^{underline{m + n}} = x^{underline m}(x - m)^{underline n}
]
回到有限微积分中, 让我们来尝试计算(Delta x^{underline{-2}})
[egin{aligned}
Delta x^{-2} &= frac 1 {(x + 2)(x + 3)} - frac 1 {(x + 1)(x + 2)} \
&= frac{(x + 1) - (x + 3)}{(x + 1)(x + 2)(x + 3)} \
&= -2x^{underline{-3}}
end{aligned}
]
也就是说, 我们之前得到的结论对于(m < 0)的情况依旧适用.
调和数与二的次幂
我们考虑在无限微积分中, 有(int_a^b x^{-1}dx = ln x|_a^b)
那么在有限微积分中是什么情况呢?
[ecause x^{underline{-1}} = Delta f(x) \
herefore frac{1}{x + 1} = Delta f(x + 1) - f(x)
]
当(x)为整数时, 不难看出
[f(x) = sum_{k = 1}^x frac 1 k
]
也就是之前提到过的调和数(H_n)
既然讲到了调和数(H_n), 那么也可以顺带提及(2^n)与(e^x)的关系:
[D e^x = e^x \
Delta 2^x = 2^x
]
就是这么奇妙.
分部积分法
尽管有限微积分和无限微积分有许多类似的地方, 某些连续的概念却并没有相似的离散概念. 比如说, 链式法则在有限微积分中是不成立的.
然而, (Delta(f(x)g(x)))确实有比较好的形式, 并且对应的结论在有限微积分中也是成立的. 我们首先来看无限微积分中的情形:
[D(uv) = u Dv + v Du
]
我们对上式进行移项并积分, 得到
[int u Dv = uv - int v Du
]
这就是分布积分法则.
让我们来看离散的情况:
[egin{aligned}
Delta(u(x)v(x)) &= u(x + 1)v(x + 1) - u(x)v(x) \
&= u(x + 1) v(x + 1) - u(x) v(x + 1) + u(x) v(x + 1) - u(x) v(x) \
&= [u(x + 1)v(x + 1) - u(x)v(x + 1)] + [u(x)v(x + 1) - u(x)v(x)] \
&= v(x + 1)Delta u(x) + u(x) Delta v(x)
end{aligned}
]
注意到这里出现了(v(x + 1))的形式, 不太方便, 因此我们引入位移算子(E). 我们用(Ev(x))替换(v(x + 1)), 则有
[Delta(uv) = u Delta v + EvDelta u
]
我们对上面这个式子进行移项, 得到
[u Delta v = delta (uv) - Ev Delta u \
sum u Delta v = uv - sum Ev Delta u
]
也就是所谓的分部求和法.
这个法则在左边的和式比右边的和式更难处理时就能发挥作用了. 比如说下面这个例子:
[sum x2^xdelta x
]
我们令(u(x) = x)且(Delta v(x) = 2^x), 从而(Delta u(u) = 1), (v(x) = 2^x). 代入得到
[sum x2^x delta x = x2^x - sum 2^{x + 1} delta x = x2^x - 2^{x + 1} + C
]
我们给它加上界限:
[egin{aligned}
sum_{k = 0}^n k2^k &= sum_0^{n + 1}x2^x delta x \
&= ((n + 1)2^{n + 1} - 2^{n + 2}) - (0 imes 2^0 - 2^1) \
&= (n + 1)2^{n + 1} + 2
end{aligned}
]
比原来的扰动法优美多了.
我们再看另一个例子: 求(sum_{0 le k < n} kH_k).
我们取(u(x) = H_x), (Delta v(x) = x), 则(Delta u(x) = x^{underline{-1}}), (v(x) = frac{x^{underline 2}} 2), 则有
[egin{aligned}
sum xH_xdelta x &= u(x)v(x) - sum Ev(x) Delta u(x) \
&= frac{x^2}2 H_x - sum frac{(x + 1)^{underline{2}}}2 x^{underline{-1}} delta x \
&= frac{x^2} 2 H_x - frac{2^{underline{2}}} 4 + C \
end{aligned}
]
因此
[sum_{0 le k < n} kH_k = frac{n^{underline 2}}2(H_n - frac 1 2)
]
好了, 有限微积分的内容到这里就结束了.