NFA转DFA的子集构造(Subset Construction)算法详解

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目录

• 1 概念
  • 1.1 虎书概念
  • 1.2 龙书概念
• 2 举个例子解释
• 3 如何最小化DFA的状态数量
• 4 总结

之前学习编译原理的时候老师有讲过子集构造法，当时我以为自己听懂了，信心满满。可是这两天我做了一些题目，发现自己实际上还是太嫩了，学习浮于表面。之后又重新看了龙书和虎书，对子集构造法有了更深层次的了解。特此发出一篇文章分享我的经验。

1 概念

概念是我们学习编译原理的重中之重，虽然他很晦涩难懂，但我有必要将其放在最开始。

1.1 虎书概念

虎书的概念更偏向于理论化，我当时看的时候一头雾水，但是不要担心，之后会一点一点解释的。

首先，我们形式化定义(epsilon)闭包如下：

• (edge(s,c))：状态(s)沿着标有(c)的边可到达的所有NFA状态的集合；
• (closure(S))： 对于状态集合(S)，从(S)出发，只通过(epsilon)边可以达到的状态集合；
  • 这种经过(epsilon)边的概念可以用数学方法表述，即(closure(S))是满足如下条件的最小集合(T)：
    (T=S cup left( igcup_{s in T}edge(s,epsilon) ight))
  • 我们可以用迭代法来算出(T)：
    (T leftarrow S \ repeat T' leftarrow T \ qquad quad T leftarrow T' cup left( igcup_{s in T'}edge(s,epsilon) ight) \ until T=T')

解释一下：当我们位于一个状态集合(S)，(S)里任意状态经过若干(epsilon)能够到达的状态，都将包含在 (closure(S)) 里。

• 龙书里将这个操作定义为(epsilon-closure(T))((T)为状态集合)。

现在，假设我们位于由NFA状态(s_i,s_k,s_l)组成的集合(d= lbrace s_i,s_k,s_l brace)中。从(d)中的状态出发，输入符号(c)，将到达NFA新的状态集；我们称这个状态集为(DFAedge(d,c))：

• (DFAedge(d,c)=closure left( igcup_{s in d}edge(s,c) ight))

解释一下：将遍历集合(d)中的所有状态，得到 (d) 关于(T=edge(s,c))的状态集，并对 (T) 求 (closure(T))，得到的即为(DFAedge(d,c))。简而言之，就是从一个状态集，经过一个输入到达的状态集为 (T'=DFAedge(d,c))。

利用(DFAedge)能更形式化地写出NFA模拟算法。如果初态是(s_1)，输入字符串是(c_1,...,c_k)，则算法为：

• (d leftarrow closure( lbrace s_1 brace ) \ for i leftarrow 1 to k \ quad d leftarrow DFAedge(d,c_i))

有了(closure)和(DFAedge)算法，就能构造出DFA，DFA的状态(d_1)就是(closure(s_1))。抽象而言，如果(d_j=DFAedge(d_i,c))则存在一条从 (d_i) 到 (d_j) 的标记为 (c) 的边。令 (Sigma) 是字母表：

• (states[0] leftarrow lbrace brace; qquad states[1] leftarrow closure(lbrace s_1 brace) \ pleftarrow 1; qquad j leftarrow 0 \ while j leq p \ foreach c in Sigma \ qquad e leftarrow DFAedge(states[j],c) \ qquad if e =states[i] for some i leq p \ qquad quad then trans[j,c] leftarrow i \ qquad quad else p leftarrow p+1 \ qquad qquad quad \, states[p] leftarrow e \ qquad qquad quad \, trans[j,c] leftarrow p \ ; ; j leftarrow j+1)

解释一下：(state[])代表了最终DFA的一个状态所对应的NFA状态集，(s_1)为初始状态，(closure(lbrace s_1 brace))代表了初始状态(s_1)的闭包。上文中的代码实际上和龙书的代码一个意思，龙书的代码更加简单直白，所以这里可以跳过。等看完下面的龙书再回头来看

1.2 龙书概念

个人认为龙书的概念更加通俗易懂，但是由于没有数学公式的归纳，导致理论基础不扎实，有点慌。所以推荐两本书一起看。

首先，是概念：

• 子集构造法的基本思想是让构造得到的DFA的每个状态对应NFA的一个状态集合。DFA在读入(a_1a_2...a_n)之后到达的状态应该对应于相应的NFA从开始状态出发，沿着以(a_1a_2...a_n)为边的路径能达到的状态的集合。

解释一下：概念很直观哈，我就不解释了^_^

接着，是算法：

• 输入：一个NFA N
• 输出：一个接受同样语言的DFA D
• 方法：我们为算法 D 构造一个转换表(Dtran)。D的每个状态是一个NFA集合，构造(Dtran)，使得 D “并行地”模拟 N 在遇到一个给定输入串可能执行的所有动作。下面我们给出一些函数的定义：

操作	描述
(epsilon - closure(s))	能够从NFA状态(s)开始只通过(epsilon)转换到达的NFA状态集合
(epsilon - closure(T))	能够从(T)中某个NFA状态(s)开始只通过(epsilon)转换到达的NFA状态集合，即 (igcup_{s in T} epsilon -closure(s))
(move(T,a))	能够从 (T) 中某个状态 (s) 出发通过标号为 (a) 的转换到达的NFA状态的集合

• 在读入第一个符号之前，N可以位于集合(epsilon-closure(s_0))中的任何状态上 ，其中，(s_0)是 N 的开始状态。
• 下面进行回归纳：假定N在读入输入串(x)之后可以位于集合T的任意状态上。如果下一个输入符号是 (a)，那么N可以立即移动到集合(move(T,a))中的任何状态。然而，N 可以读入(a)之后再执行几个(epsilon)转换，因此 N 在读入(xa)之后可以位于(epsilon-closure(move(T,a)))中的任意状态上。接着我们可以构造出转换函数(Dtran)：
  • 一开始，(epsilon-clusure(s_0))是(Dstates)的唯一状态，且它未标记(请注意，“标记”是非常重要的概念)；
  • (while(在Dstates中有一个未标记的状态T) lbrace \ quad quad 给T加上标记; \ quad quad for(每个输入符号a) lbrace \ qquad qquad quad U=epsilon-clusureleft(move(T,a) ight) \ qquad qquad quad if(U不在Dstates中) \ qquad qquad qquad qquad \, 将U加入Dstates中，且不加标记; \ qquad qquad quad Dtran[T,a]=U \ quad quad brace \ brace)

解释一下：这部分代码和虎书上的代码意思相近，这个更好理解。算法里的(Dtran[T,a]=epsilon-clusureleft(move(T,a) ight))每个(Dtran[T,a])都可能是DFA的一个状态。

2 举个例子解释

• 题目：给定一个正则表达式((a|b)^*abb)的NFA，我们使用子集构造法构造DFA。
  
• 解法：首先，我们分析得出，NFA的初始为状态0。因而初始状态集(A=epsilon-closure(0)=lbrace0,1,2,4,7 brace)。
  1. (A)被加上标记，对于输入符号(a,b)，分别求出:
     (a:B=epsilon-closure(move(A,a))=lbrace1,2,3,4,6,7,8 brace \b:C=epsilon-closure(move(A,b))=lbrace1,2,4,5,6,7 brace)
  2. (B,C)都没有被标记，因而将(B,C)依次加上标记，对于输入符号(a,b)，分别求出:
     (a:B=epsilon-closure(move(B,a))=lbrace1,2,3,4,6,7,8 brace \b:D=epsilon-closure(move(B,b))=lbrace1,2,4,5,6,7,9 brace)
     (a:B=epsilon-closure(move(C,a))=lbrace1,2,3,4,6,7,8 brace \b:C=epsilon-closure(move(C,b))=lbrace1,2,4,5,6,7 brace)
  3. 现在只剩(D)没有加标记，因而给(D)加上标记，对于输入符号(a,b)，分别求出:
     (a:B=epsilon-closure(move(D,a))=lbrace1,2,3,4,6,7,8 brace \b:E=epsilon-closure(move(D,b))=lbrace1,2,4,5,6,7,10 brace)
  4. 还剩一个(E)没有标记，因而给(E)加上标记，对于输入符号(a,b)，分别求出:
     (a:B=epsilon-closure(move(E,a))=lbrace1,2,3,4,6,7,8 brace \b:C=epsilon-closure(move(E,b))=lbrace1,2,4,5,6,7 brace)
  5. 所有构造出来的集合都已经被标记，构造完成！(A,B,C,D,E)为五个不同状态：
     (A=lbrace0,1,2,4,7 brace \ B=lbrace1,2,3,4,6,7,8 brace \ C=lbrace1,2,4,5,6,7 brace \ D=lbrace1,2,4,5,6,7,9 brace \ E=lbrace1,2,4,5,6,7,10 brace)
  6. 接着就是根据状态来画图了，最好先画好状态表：
     

解释一下：由此可知，(A)通过(a)，连到(B)，以此类推。就可以做出DFA图了^_^

3 如何最小化DFA的状态数量

很简单，如果开始于(s_1)的机器接收字符串(sigma)，始于(s_2)的和始于与(s_1)接收的串相同，并到达相同状态，且两个状态集同为终态或者非终态，那么(s_1,s_2)是等价的。我们可以把指向(s_2)的连线全部指向(s_1)，并删除(s_2)，反之亦然。

• 举个书上的例子：
  
• 图中的(lbrace 5,6,8,15 brace,lbrace 6,7,8 brace)是等价的，还有(lbrace 10,11,13,15 brace,lbrace 11,12,13 brace)也是等价的。

Tips：在判断是否等价前，我们要先判断是否为死状态哦(1.不能到达终态 2.从开始没有路径指向这个状态)。

4 总结

NFA转DFA知识总结就到这里，有什么问题请留言，有错误请批评指正，非常感谢您的阅读。