[数学]根式有理化[高中数学技巧]

初中的时候曾经做过一道题, 题目具体是什么记不起来了. 记得最后发现用三角函数和用勾股定理得到的答案竟然不相同!

用三角函数计算得到的答案:

[frac{sqrt{10}+sqrt{2}}{2} ]

而用勾股定理开方算出来的是

[sqrt{3+sqrt{5}} ]

当时考完听说有两答案还不信, 觉得是别人算错了, 结果自己一算还真是两个答案. 按计算器化简不出来, 但是求出估计值是一样的. 后面老师讲题也说其实两个都对, 这... 到底是为什么?

于是又去认真化了一下, 发现

[egin{align*} sqrt{3+sqrt{5}}=&sqrt{frac{6+2sqrt{5}}{2}} \ =&sqrt{frac{(sqrt{5}+1)^2}{2}} \ =&frac{sqrt{5}+1}{sqrt{2}} \ =&frac{sqrt{10}+sqrt{2}}{2} end{align*} ]

其实在这之前已经有遇到类似的例子, 比如

[sqrt{4-2sqrt{3}}=sqrt{3}-1 ]

这些情况往往都一下子就看出来了, 为什么这道题却栽了跟头? 最主要的可能就是需要上下同乘 (2) 才能比较直观地看出来可以配方. 所以觉得是不是当配不出来的时候就要上下同乘继续观察呢? 再看这个例子:

[sqrt{5+sqrt{3}} ]

能不能化简出来呢? 读者可以试一下, 但是可以发现这个尝试是无休止的. 但是还是不能说就不能.

所以接下来想的就是, 到底能不能有一个方法来判定能不能化简, 那么就可以省去许多尝试的时间. 所以我们需要建立一个一般情况的模型:

[sqrt{x+sqrt{y}}=sqrt{a}+sqrt{b} ]

其中 (a,b) 不为根式, 求 (x,y) 需要满足的条件. 为了更好地进行下一步分析, 我们再做一些处理.

对于 (sqrt{2-sqrt{3}}), 由于其是 (frac{sqrt{4-2sqrt{3}}}{sqrt{2}}) 可知能够化简. 也就是说对于任何的根式套根式, 必定能够利用通分, 化为

[frac{sqrt{xpmsqrt{y}}}{sqrt{z}} ]

其中 (x,y,z) 均为正整数. (sqrt{z}) 显然不会影响化简, 所以问题等价于

[sqrt{xpmsqrt{y}} ]

能否化简, 以分式类比, 我称其为"根式有理化". 接下来进行我们的分析:

注意到: 如果有 (sqrt{x+sqrt{y}}=sqrt{a}+sqrt{b}), 那么显然有 (sqrt{x-sqrt{y}}=sqrt{a}-sqrt{b}). (记 (a>b))这对称性能不能带来帮助呢? 将其平方并写在一起进行观察:

[egin{gather} x+sqrt{y}=a+b+2sqrt{ab}\ x-sqrt{y}=a+b-2sqrt{ab} end{gather} ]

(1)+(2) 得

[a+b=x ]

(1)-(2) 得

[ab=frac{y}{4} ]

也就是说, (a,b) 是方程

[z^2-xz+frac{y}{4}=0 ]

的两个根, 由于 (a,b) 均为正整数, 故

[sqrt{Delta}=sqrt{x^2-y} ]

必须为某个正整数 (N), 也即 (x^2-y=N^2) 是一个完全平方数. 至此已经得到了可以根式有理化的必要条件. 实际上, 这个条件不只是必要. 因为 (Delta) 确定了, 其实两根 (a,b) 也就确定了:

[egin{cases} a=frac{x+N}{2} \ b=frac{x-N}{2} end{cases} ]

至此完全地解决了这个问题.

在此说一下一些初次尝试的人会犯的错, 比如

[sqrt{sqrt{13}-3} ]

因为 (13-9=4) 是完全平方数, 所以可以根式有理化? 这是不行的, 一定是带根号的比较小, 注意前面我们的证明.