自然数幂求和方法2 ：斯特林数

两条公式：

(x^n=sumlimits_{k=0}^n left{egin{matrix}n \ kend{matrix} ight} x^{underline k})
(x^{overline n}=sumlimits_{k=0}^nleft[egin{matrix}n\kend{matrix} ight] x^k)
依然用到求两次的思想
对于(x^n)
可以理解为用x种颜色给n个点染色
我们有两种求法：
1.每个点有x种染色方案，x^n
2.总共染k种颜色，把n个点分到k个集合中

对于(x^{overline n})
可以理解为x种颜色，将n个点组成若干条项链，同一条项链上的点颜色必须相同，不同链可以染同种颜色
我们有两种求法
1.将n个点合成k条项链（轮换），再给每条项链统一染色，(x^k)
2.按编号从小到大加入每个点，可以选择在x种颜色中选一种自成一串，也可以选择接在之前某个珠子后面并继承一样的颜色，第一个点方案数x，第二个点方案数x+1，第三个点方案数x+2，第n个点方案数x+n-1,总方案数为(x^{overline n})

转化为下降幂

[egin{aligned} x^{underline n}&=(-1)^n*(-x)^{overline n}\ &=(-1)^n*sum_{k=0}^n left[egin{matrix}n\kend{matrix} ight] (-x)^k\ &=sum_{k=0}^n left[egin{matrix}n\kend{matrix} ight] (-1)^{n+k}x^k\ (-1)^{n+k}=(-1)^{n-k},则有\ x^{underline n}&=sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} left[egin{matrix}n\kend{matrix} ight]x^k end{aligned} ]

离散微积分

裂项求和的原理，通过把(f(x)=Delta g(x)=g(x+Delta x)−g(x))
(f)相加的话(g)中相邻两项就会约掉
我们说(g)是(f)的原函数

[egin{aligned} Delta x^{underline n}&=(x+1)^{underline n}-x^{underline n}\ &=(x+1)x^{underline {n-1}}-(x-n+1)x^{underline {n-1}}\ &=nx^{underline {n-1}}\ 把式子的n换成n+1,则有\ Delta x^{underline {n+1}}&=(n+1)x^{underline n}\ x^{underline n}&=frac{Delta x^{underline {n+1}}} {(n+1)} \ x^{underline n}&=frac{(x+1)^{underline {n+1}}} {(n+1)} - frac{x^{underline {n+1}}} {(n+1)} \ end{aligned}]

所以(x^{underline n})的原函数为(frac 1 {(n+1)} {x^{underline {n+1}}})

推导公式

[egin{aligned} f_t(n)&=sum_{k=0}^n k^t\ &=sum_{k=0}^nsum_{i=0}^t left{egin{matrix}t\iend{matrix} ight}k^{underline i}\ &=sum_{i=0}^t left{egin{matrix}t\iend{matrix} ight}sum_{k=0}^nk^{underline i}\ k^{underline i}原函数为frac 1 {(i+1)} {k^{underline {i+1}}}\ &=sum_{i=0}^t left{egin{matrix}t\iend{matrix} ight}sum_{k=0}^n frac {(n+1)^{underline {i+1}}} {i+1}\ &=sum_{i=0}^t frac {left{egin{matrix}t\iend{matrix} ight}} {i+1}sum_{k=0}^n {(n+1)^{underline {i+1}}} \ &=sum_{i=0}^t frac {left{egin{matrix}t\iend{matrix} ight}} {i+1}sum_{k=0}^nsum_{j=0}^{i+1}(-1)^{i+1-j}left[egin{matrix}i+1\jend{matrix} ight] (n+1)^j end{aligned} ]