最小生成树

一、概述 

在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边（即），而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 为 E 的子集（即）且为无循环图，使得

的 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树。

最小生成树其实是最小权重生成树的简称。

 

二、代码描述：

Prim算法

1.概览

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

2.算法简单描述

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2).初始化：V_new = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），E_new = {},为空；

3).重复下列操作，直到V_new = V：

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合V_new中的元素，而v不在V_new集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合V_new中，将<u, v>边加入集合E_new中；

4).输出：使用集合V_new和E_new来描述所得到的最小生成树。

下面对算法的图例描述

图例	说明	不可选	可选	已选（Vnew）
	此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。	-	-	-
	顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。	C, G	A, B, E, F	D
	下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。	C, G	B, E, F	A, D
	算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。	C	B, E, G	A, D, F
	在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。	无	C, E, G	A, D, F, B
	这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。	无	C, G	A, D, F, B, E
	顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。	无	G	A, D, F, B, E, C
	现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。	无	无	A, D, F, B, E, C, G

3.简单证明prim算法

反证法：假设prim生成的不是最小生成树

1).设prim生成的树为G₀

2).假设存在G_min使得cost(G_min)<cost(G₀)   则在G_min中存在<u,v>不属于G₀

3).将<u,v>加入G₀中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈G_min)

4).这与prim每次生成最短边矛盾

5).故假设不成立，命题得证.

4、代码：

5.时间复杂度

这里记顶点数v，边数e

邻接矩阵:O(v²)                 邻接表:O(elog₂v)

Kruskal算法

1.概览

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

2.算法简单描述

1).记Graph中有v个顶点，e个边

2).新建图Graph_new，Graph_new中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边

3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序

4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中

                if 这条边连接的两个节点于图Graph_new中不在同一个连通分量中

                                         添加这条边到图Graph_new中

图例描述：

首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边 

将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图

在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5

依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。

下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。

最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是右：

3.简单证明Kruskal算法

对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。

归纳基础：

n=1，显然能够找到最小生成树。

归纳过程：

假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。

我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。

用反证法，如果T'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是假设不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。

由数学归纳法，Kruskal算法得证。

4、代码

这个代码写的比较基本，所以行数比较多

#include"iostream"
#include"stdio.h"
#include"algorithm"
#include"cmath"
#include"string.h"
#include"string"
using namespace std;

const int mx=105;
const int inf=32767;

struct Edge//记录边的两个端点和权值
{
    int u;
    int v;
    int w;
};

struct Mgraph
{
    int edges[mx][mx];//存储边
    int n;//顶点数
};

struct UFStree//并查集的数据结构
{
    int data;//节点对应的编号
    int  parent;//节点对应双亲下标
    int rank;//节点对应秩
};

bool cmp(const Edge a,const Edge b)
{
    return a.w<b.w;
}
void Make_set(UFStree t[],int n)//初始化
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        t[i].rank=0;
        t[i].parent=i;
    }
}

int Find_set(UFStree t[],int  x)//查找集合的代表元素
{
    while(x!=t[x].parent)
        x=t[x].parent;
    return x;
}

void Union(UFStree t[],int x,int y)//将两个集合并为一个
{
    x=Find_set(t,x);
    y=Find_set(t,y);
    if(t[x].rank>t[y].rank)//将秩小的作为秩大的子集
        t[y].parent=x;
    else
    {
        t[x].parent=y;
        if(t[x].rank==t[y].rank) t[y].rank++;
    }
}

void  Kruskal(Mgraph g)//求最小生成树的算法
{

    int i,j,k,u1,v1,sn1,sn2;
    UFStree t[mx];
    Edge E[mx];
    k=1;                //E数组的下标从一开始
    for(i=0;i<g.n;i++)   //由g产生的边集E
        for(j=0;j<g.n;j++)
    {
        if(g.edges[i][j]!=0&&g.edges[i][j]!=inf)
        {
            E[k].u=i;E[k].v=j;E[k++].w=g.edges[i][j];
        }
    }
    sort(E,E+k,cmp);
    Make_set(t,g.n);
    k=1;//k表示当前构造生成树的第几条边，初值为1
    j=1;//E中边的下标，初值为1
    while(k<g.n)
    {
        u1=E[j].u;
        v1=E[j].v;
        sn1=Find_set(t,u1);
        sn2=Find_set(t,v1);
        if(sn1!=sn2)//两定顶点属于不同的集合，该边是最小生成树的一条边
        {
            cout<<"("<<u1<<","<<v1<<"):"<<E[j].w<<endl;
            k++;//生成边数增1
            Union(t,u1,v1);//将 u1和v1两个顶点合并
        }
        j++;
    }
}

int main()
{
    Mgraph g;
    int i,j,n;
    cout<<"输入顶点数为0时结束！"<<endl<<endl;
    while(cout<<"输入图的顶点数目:"<<endl,cin>>n,n)
    {
        g.n=n;
        cout<<"输入每个顶点与n个顶点边的权值:"<<endl;
        for(i=0;i<n;i++)
            for(j=0;j<n;j++)
              cin>>g.edges[i][j];
        cout<<"输出构成最小生成树的边和顶点集："<<endl;
        Kruskal(g);
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

参考网上的代码后简化了很多 ，不过对于不同的问题，需要不同的数据结构和算法，还是要学会随机应变。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#define N 150
using namespace std;
int m,n,u[N],v[N],w[N],p[N],r[N];
int cmp(const int i,const int j) {return w[i]<w[j];}
int find(int x) {return p[x]==x?x:p[x]=find(p[x]);}
int kruskal()
{
    int cou=0,x,y,i,ans=0;
    for(i=0;i<n;i++) p[i]=i;
    for(i=0;i<m;i++) r[i]=i;
    sort(r,r+m,cmp);
    for(i=0;i<m;i++)
    {
        int e=r[i];x=find(u[e]);y=find(v[e]);
        if(x!=y) {ans += w[e];p[x]=y;cou++;}
    }
    if(cou<n-1) ans=0;
    return ans;
}

int main()
{
    int i,ans;
    while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF&&m)
    {
        for(i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&u[i],&v[i],&w[i]);
        }
        ans=kruskal();
        if(ans) printf("%d
",ans);
        else printf("?
",ans);
    }
    return 0;
}

时间复杂度：elog₂e  e为图中的边数