Dijkstra算法
1.定义概览
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）
2.算法描述
1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2)算法步骤：
a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
执行动画过程如下图
动图太快可以看下面的例子：
重点需要理解这句拗口的”按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度”
实际上，Dijkstra
算法是一个排序过程，就上面的例子来说，是根据A到图中其余点的最短路径长度进行排序，路径越短越先被找到，路径越长越靠后才能被找到，要找A到F的最短路径，我们依次找到了
A
–> C 的最短路径
3
A
–> C –> B 的最短路径
5
A
–> C –> D 的最短路径
6
A
–> C –> E 的最短路径
7
A
–> C –> D –> F 的最短路径
9
为什么Dijkstra
算法不适用于带负权的图？
就上个例子来说，当把一个点选入集合S时，就意味着已经找到了从A到这个点的最短路径，比如第二步，把C点选入集合S，这时已经找到A到C的最短路径了，但是如果图中存在负权边，就不能再这样说了。举个例子，假设有一个点Z，Z只与A和C有连接，从A到Z的权为50，从Z到C的权为-49，现在A到C的最短路径显然是A
–> Z –> C
再举个例子：
在这个图中，求从A到C的最短路，如果用Dijkstra根据贪心的思想，选择与A最接近的点C，长度为7，以后不再变化。但是很明显此图最短路为5。归结原因是Dijkstra采用贪心思想，不从整体考虑结果，只从当前情况考虑选择最优。
4.代码模板
#include<stdio.h> #include<string.h> #define inf 0x3f3f3f3f int map[110][110],dis[110],visit[110]; /* 关于三个数组：map数组存的为点边的信息，比如map[1][2]=3，表示1号点和2号点的距离为3 dis数组存的为起始点与每个点的最短距离，比如dis[3]=5，表示起始点与3号点最短距离为5 visit数组存的为0或者1，1表示已经走过这个点。 */ int n,m; int dijstra() { int i,j,pos=1,min,sum=0; memset(visit,0,sizeof(visit));//初始化为.，表示开始都没走过 for(i=1; i<=n; ++i) { dis[i]=map[1][i]; } visit[1]=1; dis[1]=0; for(i=1; i<n; i++) { min=inf; for(j=1; j<=n; ++j) { if(visit[j]==0&&min>dis[j]) { min=dis[j]; pos=j; } } visit[pos]=1;//表示这个点已经走过 for(j=1; j<=n; ++j) { if(visit[j]==0&&dis[j]>dis[pos]+map[pos][j])//更新dis的值 dis[j]=dis[pos]+map[pos][j]; } } return dis[n]; } int main() { int i,j; while(~scanf("%d%d",&n,&m),n||m)//n表示n个点，m表示m条边 { for(i=1; i<=n; ++i) { for(j=1; j<=n; ++j) { map[i][j]=inf;//开始时将每条边赋为最大值 } } int a,b,c; for(i=1; i<=m; ++i) { scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); if(c<map[a][b])//防止有重边 map[a][b]=map[b][a]=c; } int count=dijstra(); printf("%d ",count); } return 0; }