BZOJ3065
本题是在BZOJ上的处女A，实在不应该拿这样一道题来开头
平衡树套线段树应该是树套树问题里比较难的一种了，当然我记得还有一个替罪羊树套Trie树的题，我是不信自己能写出来的。
外层的平衡树来实现区间值得插入和修改，其实如果外层的插入是只在中间插入的话，可以不用平衡树的
为了避免旋转对内层数据结构的影响，这里的外层平衡树是不能够旋转的，像这种外层平衡树的题，外层的树一般都是替罪羊树，像无旋Treap一般是用来实现可持久化平衡树的
总的来说，各种树有各种树的用途，我如果只是一道单纯的平衡树的题，就根本没有必要用裸的替罪羊树维护了是不是
下面我来完整地解析一下实现过程：
const int maxn=70005; const float alpha=0.75; int n,m,root,gtmp,sz,lastans; int v[maxn],dfn[maxn],rt[maxn],lch[maxn],rch[maxn]; //rt是替罪羊节点存的每一个线段树的根节点 struct seg{int l,r,sum;}a[10000005]; vector<int> rec,t,p;
先来看声明部分，alpha是替罪羊平衡因子，记住如果是常数一定不要用int，会崩的
区间长度为n，m个询问，替罪羊树的根节点咱们叫root，gtmp是和重构子树有关的临时变量，sz是线段树节点个数，lastans是跟题目有关的一个变量
这里的替罪羊树是SOA，v是节点的值，dfn是节点的ID用来节省空间，rt是每一个替罪羊节点对应的权值线段树的根节点，lch和rch是替罪羊左右子树的ID
权值线段树是AOS，l存左子树ID，r存右子树ID，sum在这里就是子树的节点个数了，因为有这个sum在替罪羊树中的size就不必了
这里的权值线段树虽然是完全二叉树但是存的时候是存成数组链的，不支持完全二叉树的2n,2n+1的操作，其实主要原因是空间不够
rec用来存回收来的线段树节点，为了省空间，t是用来存替罪羊子树（或者说一个区间）所有的权值线段树节点，p用来存这个区间每一个节点的值
t和p是在查询的时候二分查询权值线段树的时候用的，因为这个线段树是用链存的，所以查询部分还是不太会，只是大概理解了个思路
void build(int &k,int l,int r) { //cout<<"###5"<<endl; if(l>r) return; if(l==r) { k=dfn[l]; insert(rt[k],0,70000,v[k],1); //在替罪羊树的叶子节点插入权值线段树 return; } int mid=(l+r)>>1;k=dfn[mid]; build(lch[k],l,mid-1);build(rch[k],mid+1,r); for(int i=l;i<=r;i++) insert(rt[k],0,70000,v[dfn[i]],1); }
这是建树操作，建替罪羊树，在建的过程中每一个节点都插入了一个权值线段树，这个线段树是一个一个插出来的，其中insert的最后一个参数就是所谓的权值
然后我们立刻看一下权值线段树怎么建的
void insert(int &k,int l,int r,int val,int f) //每一个替罪羊节点插入权值线段树 { //cout<<"###4"<<endl; if(k==0) k=newnode(); if(l==r) {a[k].sum+=f;return;} int mid=(l+r)>>1; if(val<=mid) insert(a[k].l,l,mid,val,f); else insert(a[k].r,mid+1,r,val,f); a[k].sum=a[a[k].l].sum+a[a[k].r].sum; if(a[k].sum==0) reclaim(k); }
可以很明显看出来是线段树递归建树了，如果插完之后发现没有权值，直接回收
inline int newnode() { //cout<<"###2"<<endl; if(rec.size()==0) return ++sz; else { int tmp=rec.back(); rec.pop_back(); return tmp; } }
向（回收站）申请一个线段树节点空间
看一下怎么拆掉没用的线段树的
void reclaim(int &k) //回收叶子的线段树空间 { //cout<<"###3"<<endl; if(k==0) return; rec.push_back(k); reclaim(a[k].l),reclaim(a[k].r); a[k].sum=0;k=0; }
查询就比较恶心了
void query(int k,int l,int r) //提取出要查询的权值线段树? { //cout<<"###8"<<endl; int L=a[rt[lch[k]]].sum,R=a[rt[k]].sum; if(l==1&&r==R) {t.push_back(rt[k]);return;} //要查询的区间映射到了权值线段树 if(l<=L+1&&r>=L+1) p.push_back(v[k]); //当前根节点在要查询的区间里 if(r<=L) query(lch[k],l,r); else if(l>L+1) query(rch[k],l-L-1,r-L-1); else { if(l<=L) query(lch[k],l,L); if(R>L+1) query(rch[k],1,r-L-1); } } int solve_query(int L,int R,int K) //二分权值线段树查询区间第k大 ? { //cout<<"###9"<<endl; query(root,L,R);K--; int l=0,r=70000,s1=t.size(),s2=p.size(); while(l<r) { int mid=(l+r)>>1,sum=0; for(int i=0;i<s1;i++) sum+=a[a[t[i]].l].sum; for(int i=0;i<s2;i++) if(p[i]>=l&&p[i]<=mid) sum++; if(K<sum) { for(int i=0;i<s1;i++) t[i]=a[t[i]].l; r=mid; } else { for(int i=0;i<s1;i++) t[i]=a[t[i]].r; l=mid+1;K-=sum; } } t.clear(),p.clear(); return l; }
上面那个查询是用来把替罪羊子树对应的权值线段树都翟出来的，底下这个函数就是二分这个翟出来的权值线段树然后二分求第k大的
说到这里我可能知道了多颗权值线段树能够维护静态第k大，或者说，线段树套权值线段树？一会儿去试试，感觉比这个要简单一些
接下来说修改
int modify(int k,int x,int val) { //cout<<"###8"<<endl; insert(rt[k],0,70000,val,1); //在根节点权值线段树插入 int t,L=a[rt[lch[k]]].sum; if(L+1==x) {t=v[k];v[k]=val;} else if(L>=x) t=modify(lch[k],x,val); else t=modify(rch[k],x-L-1,val); insert(rt[k],0,70000,t,-1); return t; }
修改就是把从根节点到这个修改点所影响的所有线段树进行统一的，插新数，删旧数
最后就是迷之插入了
void insert(int &k,int x,int val) { //cout<<"###10"<<endl; if(k==0) //叶子节点 { k=++n; insert(rt[k],0,70000,val,1); v[k]=val; return; } insert(rt[k],0,70000,val,1); int L=a[rt[lch[k]]].sum; //得到当前平衡树节点在权值线段树的坐标 if(L>=x) insert(lch[k],x,val); else insert(rch[k],x-L-1,val); if(a[rt[k]].sum*alpha>max(a[rt[lch[k]]].sum,a[rt[rch[k]]].sum)) { if(gtmp) { if(lch[k]==gtmp) rebuild(lch[k]); else rebuild(rch[k]); gtmp=0; } } else gtmp=k; }
这就是往平衡树里插东西了，插完之后通过权值线段树的sum来看有没有平衡啊，如果没有平衡的话，就重构把
重构的时候不是把替罪羊树变成完全二叉树就完了，还得把里面套的线段树维护好，这里的话
void del(int &k) //回收替罪羊树 { //cout<<"###6"<<endl; if(k==0) return; reclaim(rt[k]); //回收线段树 del(lch[k]);p.push_back(k);del(rch[k]); k=0; } void rebuild(int &k) { //cout<<"###7"<<endl; del(k);int s1=p.size(); for(int i=1;i<=s1;i++) dfn[i]=p[i-1]; build(k,1,s1); p.clear(); }
线段树直接暴力插进去了，如果要是线段树合并的话，可能还要学一学了，线段树合并是O（logn）的
感谢黄学长
附完整代码：
1 #include<cstdio> 2 #include<vector> 3 #include<iostream> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 const int maxn=70005; 7 const float alpha=0.75; 8 int n,m,root,gtmp,sz,lastans; 9 int v[maxn],dfn[maxn],rt[maxn],lch[maxn],rch[maxn]; 10 //rt是替罪羊节点存的每一个线段树的根节点 11 struct seg{int l,r,sum;}a[10000005]; 12 vector<int> rec,t,p; 13 inline int read() 14 { 15 //cout<<"###1"<<endl; 16 int x=0; 17 char ch=getchar(); 18 while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar(); 19 while(ch>='0'&&ch<='9') {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} 20 return x; 21 } 22 inline int newnode() 23 { 24 //cout<<"###2"<<endl; 25 if(rec.size()==0) return ++sz; 26 else 27 { 28 int tmp=rec.back(); 29 rec.pop_back(); 30 return tmp; 31 } 32 } 33 void reclaim(int &k) //回收叶子的线段树空间 34 { 35 //cout<<"###3"<<endl; 36 if(k==0) return; 37 rec.push_back(k); 38 reclaim(a[k].l),reclaim(a[k].r); 39 a[k].sum=0;k=0; 40 } 41 void insert(int &k,int l,int r,int val,int f) //每一个替罪羊节点插入权值线段树 42 { 43 //cout<<"###4"<<endl; 44 if(k==0) k=newnode(); 45 if(l==r) {a[k].sum+=f;return;} 46 int mid=(l+r)>>1; 47 if(val<=mid) insert(a[k].l,l,mid,val,f); 48 else insert(a[k].r,mid+1,r,val,f); 49 a[k].sum=a[a[k].l].sum+a[a[k].r].sum; 50 if(a[k].sum==0) reclaim(k); 51 } 52 void build(int &k,int l,int r) 53 { 54 //cout<<"###5"<<endl; 55 if(l>r) return; 56 if(l==r) 57 { 58 k=dfn[l]; 59 insert(rt[k],0,70000,v[k],1); //在替罪羊树的叶子节点插入权值线段树 60 return; 61 } 62 int mid=(l+r)>>1;k=dfn[mid]; 63 build(lch[k],l,mid-1);build(rch[k],mid+1,r); 64 for(int i=l;i<=r;i++) insert(rt[k],0,70000,v[dfn[i]],1); 65 } 66 void del(int &k) //回收替罪羊树 67 { 68 //cout<<"###6"<<endl; 69 if(k==0) return; 70 reclaim(rt[k]); //回收线段树 71 del(lch[k]);p.push_back(k);del(rch[k]); 72 k=0; 73 } 74 void rebuild(int &k) 75 { 76 //cout<<"###7"<<endl; 77 del(k);int s1=p.size(); 78 for(int i=1;i<=s1;i++) dfn[i]=p[i-1]; 79 build(k,1,s1); 80 p.clear(); 81 82 } 83 int modify(int k,int x,int val) 84 { 85 //cout<<"###8"<<endl; 86 insert(rt[k],0,70000,val,1); //在根节点权值线段树插入 87 int t,L=a[rt[lch[k]]].sum; 88 if(L+1==x) {t=v[k];v[k]=val;} 89 else if(L>=x) t=modify(lch[k],x,val); 90 else t=modify(rch[k],x-L-1,val); 91 insert(rt[k],0,70000,t,-1); 92 return t; 93 } 94 void query(int k,int l,int r) //提取出要查询的权值线段树? 95 { 96 //cout<<"###8"<<endl; 97 int L=a[rt[lch[k]]].sum,R=a[rt[k]].sum; 98 if(l==1&&r==R) {t.push_back(rt[k]);return;} //要查询的区间映射到了权值线段树 99 if(l<=L+1&&r>=L+1) p.push_back(v[k]); //当前根节点在要查询的区间里 100 if(r<=L) query(lch[k],l,r); 101 else if(l>L+1) query(rch[k],l-L-1,r-L-1); 102 else 103 { 104 if(l<=L) query(lch[k],l,L); 105 if(R>L+1) query(rch[k],1,r-L-1); 106 } 107 } 108 int solve_query(int L,int R,int K) //二分权值线段树查询区间第k大 ? 109 { 110 //cout<<"###9"<<endl; 111 query(root,L,R);K--; 112 int l=0,r=70000,s1=t.size(),s2=p.size(); 113 while(l<r) 114 { 115 int mid=(l+r)>>1,sum=0; 116 for(int i=0;i<s1;i++) sum+=a[a[t[i]].l].sum; 117 for(int i=0;i<s2;i++) 118 if(p[i]>=l&&p[i]<=mid) sum++; 119 if(K<sum) 120 { 121 for(int i=0;i<s1;i++) t[i]=a[t[i]].l; 122 r=mid; 123 } 124 else 125 { 126 for(int i=0;i<s1;i++) t[i]=a[t[i]].r; 127 l=mid+1;K-=sum; 128 } 129 } 130 t.clear(),p.clear(); 131 return l; 132 } 133 void insert(int &k,int x,int val) 134 { 135 //cout<<"###10"<<endl; 136 if(k==0) //叶子节点 137 { 138 k=++n; 139 insert(rt[k],0,70000,val,1); 140 v[k]=val; 141 return; 142 } 143 insert(rt[k],0,70000,val,1); 144 int L=a[rt[lch[k]]].sum; //得到当前平衡树节点在权值线段树的坐标 145 if(L>=x) insert(lch[k],x,val); 146 else insert(rch[k],x-L-1,val); 147 if(a[rt[k]].sum*alpha>max(a[rt[lch[k]]].sum,a[rt[rch[k]]].sum)) 148 { 149 if(gtmp) 150 { 151 if(lch[k]==gtmp) rebuild(lch[k]); 152 else rebuild(rch[k]); 153 gtmp=0; 154 } 155 } 156 else gtmp=k; 157 } 158 int main() 159 { 160 n=read(); 161 for(int i=1;i<=n;i++) v[i]=read(); 162 for(int i=1;i<=n;i++) dfn[i]=i; 163 build(root,1,n); 164 m=read(); 165 int x,y,k; 166 char tmp[5]; 167 while(m--) 168 { 169 scanf("%s",tmp); 170 x=read();y=read();x^=lastans;y^=lastans; 171 switch(tmp[0]) 172 { 173 case 'Q':k=read();k^=lastans;lastans=solve_query(x,y,k);printf("%d ",lastans);break; 174 case 'M':modify(root,x,y);break; 175 case 'I':gtmp=0;insert(root,x-1,y); 176 if(gtmp) {gtmp=0;rebuild(root);} 177 break; 178 } 179 } 180 return 0; 181 }