算法集锦(一)

最大子序列和

动态规划的算法：

#include<stdio.h>
int MaxSubsequenceSum(const int A[],int n)
{
    int i,sum,MaxSum;
    sum=MaxSum=0;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        sum+=A[i];
        if(sum>MaxSum)
            MaxSum=sum;
        if(sum<0)
            sum=0;
    }
    return MaxSum;
}
void main()
{
    int arr[10]={3,4,-2,5,-4,6,-2,8,-9,-23};
    int max=MaxSubsequenceSum(arr,10);
    printf("%d
",max);
}

最小公共子序列的和

#include<stdio.h>
int MinSubsequenceSum(const int A[],int n)
{
int i,sum,MinSum;
sum=MinSum=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
sum+=A[i];
if(sum<MinSum)
MinSum=sum;
if(sum>0)
sum=0;
}
return MinSum;
}
void main()
{
int arr[10]={3,4,-2,5,-4,6,-2,8,-9,-23};
int min=MinSubsequenceSum(arr,10);
printf("%d ",min);
}

非递归版求幂函数

#include<stdio.h>
int MinSubsequenceSum(const int A[],int n)
{
    int i,sum,MinSum;
    sum=MinSum=0;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        sum+=A[i];
        if(sum<MinSum)
            MinSum=sum;
        if(sum>0)
            sum=0;
    }
    return MinSum;
}
void main()
{
    int arr[10]={3,4,-2,5,-4,6,-2,8,-9,-23};
    int min=MinSubsequenceSum(arr,10);
    printf("%d
",min);
}

参考如下：

快速求正整数次幂，当然不能直接死乘。举个例子：

3 ^ 999 = 3 * 3 * 3 * … * 3

直接乘要做998次乘法。但事实上可以这样做，先求出2^k次幂：

3 ^ 2 = 3 * 3
3 ^ 4 = (3 ^ 2) * (3 ^ 2)
3 ^ 8 = (3 ^ 4) * (3 ^ 4)
3 ^ 16 = (3 ^ 8) * (3 ^ 8)
3 ^ 32 = (3 ^ 16) * (3 ^ 16)
3 ^ 64 = (3 ^ 32) * (3 ^ 32)
3 ^ 128 = (3 ^ 64) * (3 ^ 64)
3 ^ 256 = (3 ^ 128) * (3 ^ 128)
3 ^ 512 = (3 ^ 256) * (3 ^ 256)

再相乘：

3 ^ 999
= 3 ^ (512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 4 + 2 + 1)
= (3 ^ 512) * (3 ^ 256) * (3 ^ 128) * (3 ^ 64) * (3 ^ 32) * (3 ^ 4) * (3 ^ 2) * 3

这样只要做16次乘法。即使加上一些辅助的存储和运算，也比直接乘高效得多（尤其如果这里底数是成百上千位的大数字的话）。

我们发现，把999转为2进制数：1111100111，其各位就是要乘的数。这提示我们利用求二进制位的算法（其中mod是模运算）：

REVERSE_BINARY(n)
1 while (n > 0)
2     do output (n mod 2)
3       n ← n / 2

这个算法给出正整数n的反向二制进位，如6就给出011（6的二进制表示为110）。事实上这个算法对任意的p进制数是通用的，只要把其中的2换成p就可以了。

如何把它改编为求幂运算？我们发现这个算法是从 低位向高位做的，而恰好我们求幂也想从低次幂向高次幂计算（参看前面的例子）。而且我们知道前面求出的每个2^k次幂只参与一次乘法运算，这就提示我们并 不把所有的中间结果保存下来，而是在计算出它们后就立即运算。于是，我们要做的就是把输出语句改为要做的乘法运算，并在n减少的同时不断地累积求2^k次 幂。

还是看算法吧：

POWER_INTEGER(x, n)
1 pow ← 1
2 while (n > 0)
3     do if (n mod 2 = 1)
4            then pow ← pow * x
5       x ← x * x
6       n ← n / 2
7 return pow

不难看出这个算法与前面算法的关系。在第1步给出结果的初值1，在while循环内进行运算。3、4中的if语句就来自REVERSE_BINARY的输出语句，不过改成了如果是1则向pow中乘。5句则是不断地计算x的2^k次幂，如对前面的例子就是计算2^2、2^4、2^8、…、2^512。

应该指出，POWER_INTEGER比 前面分析的要再多做两次乘法，一次是向pow中第一次乘x，如2^1也要进行这个乘法；另一次则是在算法的最后，n除以2后该跳出循环，而前面一次x的自 乘就浪费掉了（也可以考虑改变循环模式优化掉它）。另外，每趟while循环都要进行一次除法和一次模运算，这多数情况下除法和模运算都比乘法慢许多，不 过好在我们往往可以用位运算来代替它。

相应的C++代码如下

NumberType pow_n(NumberType x, unsigned int n)
{
    NumberType pw = 1;

    while (n > 0) {
        if ((n % 2) == 1)
            pw *= x;
        x *= x;
        n /= 2;

    }

    return pw;
}

进行简单的优化后则有：

NumberType optimized_pow_n(NumberType x, unsigned int n)
{
    NumberType pw = 1;

    while (n > 0) {
        if (n & 1)        // n & 1 等价于 (n % 2) == 1
            pw *= x;
        x *= x;
        n >>= 1;        // n >>= 1 等价于 n /= 2
    }

    return pw;
}

注1：快速求幂算法POWER_INTEGER常被写成递归的形式，算法实质完全相同，但却是无必要的。

注2：这个算法并不是做乘法数最少的，但多数情况下是足够快并且足够简单的。如果单纯追求做乘法数最少，则未必应该用2^k次幂进行计算。如果还允许做除法，则问题会进一步复杂化。

如：

x ^ 2 = x * x
x ^ 4 = (x ^ 2) * (x ^ 2)
x ^ 8 = (x ^ 4) * (x ^ 4)
x ^ 16 = (x ^ 8) * (x ^ 8)
x ^ 31 = (x ^ 16) * (x ^ 8) * (x ^ 4) * (x ^ 2) * x
要8次乘法。

x ^ 2 = x * x
x ^ 4 = (x ^ 2) * (x ^ 2)
x ^ 8 = (x ^ 4) * (x ^ 4)
x ^ 10 = (x ^ 8) * (x ^ 2)
x ^ 20 = (x ^ 10) * (x ^ 10)
x ^ 30 = (x ^ 20) * (x ^ 10)
x ^ 31 = (x ^ 30) * x
只要7次乘法。

x ^ 2 = x * x
x ^ 4 = (x ^ 2) * (x ^ 2)
x ^ 8 = (x ^ 4) * (x ^ 4)
x ^ 16 = (x ^ 8) * (x ^ 8)
x ^ 32 = (x ^ 16) * (x ^ 16)
x ^ 31 = (x ^ 32) / x
只要6次乘或除法。

不过具体得出上述乘（除）法数更少的算法会变得相当复杂，在许多情况下时间收益还会得不偿失。因此往往并不实用。ACM Japan 2006中有一道题即要求计算最少乘法数，可参看：

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3134

不大于N的所有素数

算法如下：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
void Sieve(int n)
{
    int p,j,i;
    int A[n+1],L[n+1];
    for(p=2;p<=n;p++)
        A[p]=p;
    for(p=2;p<=sqrt(n);p++)
    {
        if(A[p]!=0)
        {
            j=p*p;
            while(j<n)
            {
                A[j]=0;
                j=j+p;
            }
        }
    }
    i=0;
    for(p=2;p<=n;p++)
    {
        if(A[p]!=0)
        {
            L[i]=A[p];
            i++;
        }
    }
    for(p=0;p<i;p++)
        printf("%d ",L[p]);
    printf("
");
}
void main()
{
    Sieve(25);
}

链表实现多项式求和求积

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;

struct Node {
    double coef;
    int expn;
    Node *next;
};

void CreatPolynomial(Node *&head, int n)        //    生成带表头结点的单链表，除头结点外另生成n个结点
{
    head = (Node *)malloc(sizeof(Node));
    head->coef = 0;
    head->expn = 0;
    head->next = NULL;                            //    初始化头结点
    cout << "请输入各项系数及指数：" << endl;
    Node *p = head;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        p->next = (Node *)malloc(sizeof(Node));    //    生成新结点，尾插入生成链表
        p = p->next;
        cin >> p->coef >> p->expn;
        p->next = NULL;
    }
}

void PrintPolynomial(Node *&head)
{
    if(head->next == NULL)                            //    结果是0时直接输出0
        putchar('0');
    else {
        for(Node *p = head->next; p != NULL; p = p->next) {
            if(p != head->next && p->coef >0)        //    当p非首项且指向的系数为正时才输出'+'
                putchar('+');                        //    之前只判定了p->coef >0
            
            if(p->coef == 1) {                        //    系数为1或-1时特殊处理
                if(p->expn == 0)
                    putchar('1');                    //    判断条件不能写在一起：
            }                                        //    if(p->coef == 1 && p->expn == 0) putchar('1');
            else if(p->coef == -1)
                putchar('-');
            else
                cout << p->coef;
            
            switch(p->expn) {                        //  指数为0或1时特殊处理
                
            case 0:
                break;
                
            case 1:
                putchar('x');
                break;
                
            default:
                p->expn < 0 ? printf("x^(%d)", p->expn) : printf("x^%d", p->expn);    //    指数小于0时打括号
                break;
            }
        }
    }
    cout << endl;
}
//    上面的函数中若系数为int型，那么也可以改为switch结构，这是C语言的缺陷？

void Free(Node *&head)
{
    Node *q = NULL;
    for(Node *p = head; p != NULL; p = q) {
        q = p->next;
        free(p);
    }
}

char cmp(int a, int b)
{
    if(a > b)
        return '>';
    if(a < b)
        return '<';
    return '=';
}
//求乘积
Node * mul(Node *&pA,Node *&pB)
{
    cout<<"mul :"<<endl;
    Node *ha=pA->next;
    Node *hb=pB->next;
    Node *pC=(Node*)malloc(sizeof(Node));
    Node *p=pC;
    while(ha)
    {
        hb=pB->next;
        while(hb)
        {
            p=pC;
            int expn=ha->expn+hb->expn;
            double coef=ha->coef*hb->coef;
            cout<<expn<<" mul "<<coef<<endl;
            while(p->next&&p->next->expn!=expn)
            {
                p=p->next;
            }
            if(!p->next)
            {
                Node* new1=(Node*)malloc(sizeof(Node));
                new1->expn=expn;
                new1->coef=coef;
                p->next=new1;
                new1->next=NULL;
            }
            else if(p->next->expn==expn)
            {
                p->next->expn=expn;
                p->next->coef+=coef;
            }
            hb=hb->next;
        }
        ha=ha->next; 
    }
    return pC;
}

void AddPolynomial(Node *&pA, Node *&pB)        //    传进两个链表的头指针
{
    Node *ha = pA;
    Node *hb = pB;
    Node *qa = ha->next;                        //    ha, hb分别跟在qa, qb的后一位置
    Node *qb = hb->next;                        //    qa, qb分别指向Pa, Pb中当前比较元素
    while(qa && qb) 
    {
        double sum = 0;
        int a = qa->expn;
        int b = qb->expn;
        switch( cmp(a, b) ) {
            
        case '<':
            ha = qa;
            qa = qa->next;                        //    非ha = ha->next;
            break;
            
        case '=':            
            sum = qa->coef + qb->coef;
            if(sum != 0.0) {
                qa->coef = sum;
                ha = qa;                
            }
            else {
                if(ha->next != qa)
                    cout << "Error: ha->next != qa" << endl;
                ha->next = ha->next->next;        //  删除和为0的结点，ha不变，还在qa后一位置
                free(qa);
            }
            if(hb->next != qb)
                cout << "Error: hb->next != qb" << endl;
            hb->next = hb->next->next;
            free(qb);
            qb = hb->next;
            qa = ha->next;
            break;
            
        case '>':
            hb->next = hb->next->next;            //    删除qb指向的结点
            qb->next = ha->next;                //    将qb插入ha后qa前
            ha->next = qb;
            
            qb = hb->next;                        //    not qb = ha->next
            ha = ha->next;
            break;
            
        default:
            cout << "Error!" << endl;
            break;
        }
    }
    if(qb)
        ha->next = qb;
    free(hb);
}

int main(void)
{
//    freopen("cin.txt", "r", stdin);
    Node *A = NULL;
    Node *B = NULL; 
    int lenA;
    int lenB;
    while(cout << "请输入A的项数：" << endl, cin >> lenA) {
        CreatPolynomial(A, lenA);                    //    生成A链表        
        cout << "请输入B的项数：" << endl;            //    生成B链表
        cin >> lenB;
        CreatPolynomial(B, lenB);
        
        cout << " A = ";                            //    输出A链表
        PrintPolynomial(A);
        cout << " B = ";                            //    输出B链表
        PrintPolynomial(B);
        
        cout<<"A*B= ";
        Node *C=mul(A,B);
        PrintPolynomial(C);
        AddPolynomial(A, B);                        //    A = A + B
        cout << "A+B= ";
        PrintPolynomial(A);  //    输出和
        cout << endl;
        
        Free(A);                                    //    务必释放结点
    }
    return 0;
}