拓扑排序介绍

拓扑排序介绍

拓扑排序(Topological Order)是指，将一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)进行排序进而得到一个有序的线性序列。

这样说，可能理解起来比较抽象。下面通过简单的例子进行说明！ 
例如，一个项目包括A、B、C、D四个子部分来完成，并且A依赖于B和D，C依赖于D。现在要制定一个计划，写出A、B、C、D的执行顺序。这时，就可以利用到拓扑排序，它就是用来确定事物发生的顺序的。

在拓扑排序中，如果存在一条从顶点A到顶点B的路径，那么在排序结果中B出现在A的后面。

拓扑排序的算法图解

拓扑排序算法的基本步骤：

1. 构造一个队列Q(queue) 和 拓扑排序的结果队列T(topological)； 
2. 把所有没有依赖顶点的节点放入Q； 
3. 当Q还有顶点的时候，执行下面步骤： 
3.1 从Q中取出一个顶点n(将n从Q中删掉)，并放入T(将n加入到结果集中)； 
3.2 对n每一个邻接点m(n是起点，m是终点)； 
3.2.1 去掉边<n,m>; 
3.2.2 如果m没有依赖顶点，则把m放入Q; 
注：顶点A没有依赖顶点，是指不存在以A为终点的边。

以上图为例，来对拓扑排序进行演示。

第1步：将B和C加入到排序结果中。 
    顶点B和顶点C都是没有依赖顶点，因此将C和C加入到结果集T中。假设ABCDEFG按顺序存储，因此先访问B，再访问C。访问B之后，去掉边<B,A>和<B,D>，并将A和D加入到队列Q中。同样的，去掉边<C,F>和<C,G>，并将F和G加入到Q中。 
    (01) 将B加入到排序结果中，然后去掉边<B,A>和<B,D>；此时，由于A和D没有依赖顶点，因此并将A和D加入到队列Q中。 
    (02) 将C加入到排序结果中，然后去掉边<C,F>和<C,G>；此时，由于F有依赖顶点D，G有依赖顶点A，因此不对F和G进行处理。 
第2步：将A,D依次加入到排序结果中。 
    第1步访问之后，A,D都是没有依赖顶点的，根据存储顺序，先访问A，然后访问D。访问之后，删除顶点A和顶点D的出边。 
第3步：将E,F,G依次加入到排序结果中。

因此访问顺序是：B -> C -> A -> D -> E -> F -> G

拓扑排序的代码说明

拓扑排序是对有向无向图的排序。下面以邻接表实现的有向图来对拓扑排序进行说明。

1. 基本定义

// 邻接表中表对应的链表的顶点
typedef struct _ENode
{
    int ivex;                   // 该边所指向的顶点的位置
    struct _ENode *next_edge;   // 指向下一条弧的指针
}ENode, *PENode;

// 邻接表中表的顶点
typedef struct _VNode
{
    char data;              // 顶点信息
    ENode *first_edge;      // 指向第一条依附该顶点的弧
}VNode;

// 邻接表
typedef struct _LGraph
{
    int vexnum;             // 图的顶点的数目
    int edgnum;             // 图的边的数目
    VNode vexs[MAX];
}LGraph;

(01) LGraph是邻接表对应的结构体。 vexnum是顶点数，edgnum是边数；vexs则是保存顶点信息的一维数组。 
(02) VNode是邻接表顶点对应的结构体。 data是顶点所包含的数据，而firstedge是该顶点所包含链表的表头指针。 
(03) ENode是邻接表顶点所包含的链表的节点对应的结构体。 ivex是该节点所对应的顶点在vexs中的索引，而nextedge是指向下一个节点的。

2. 拓扑排序

/*
 * 拓扑排序
 *
 * 参数说明：
 *     G -- 邻接表表示的有向图
 * 返回值：
 *     -1 -- 失败(由于内存不足等原因导致)
 *      0 -- 成功排序，并输入结果
 *      1 -- 失败(该有向图是有环的)
 */
int topological_sort(LGraph G)
{
    int i,j;
    int index = 0;
    int head = 0;           // 辅助队列的头
    int rear = 0;           // 辅助队列的尾
    int *queue;             // 辅组队列
    int *ins;               // 入度数组
    char *tops;             // 拓扑排序结果数组，记录每个节点的排序后的序号。
    int num = G.vexnum;
    ENode *node;

    ins  = (int *)malloc(num*sizeof(int));  // 入度数组
    tops = (char *)malloc(num*sizeof(char));// 拓扑排序结果数组
    queue = (int *)malloc(num*sizeof(int)); // 辅助队列
    assert(ins!=NULL && tops!=NULL && queue!=NULL);
    memset(ins, 0, num*sizeof(int));
    memset(tops, 0, num*sizeof(char));
    memset(queue, 0, num*sizeof(int));

    // 统计每个顶点的入度数
    for(i = 0; i < num; i++)
    {
        node = G.vexs[i].first_edge;
        while (node != NULL)
        {
            ins[node->ivex]++;
            node = node->next_edge;
        }
    }

    // 将所有入度为0的顶点入队列
    for(i = 0; i < num; i ++)
        if(ins[i] == 0)
            queue[rear++] = i;          // 入队列

    while (head != rear)                // 队列非空
    {
        j = queue[head++];              // 出队列。j是顶点的序号
        tops[index++] = G.vexs[j].data; // 将该顶点添加到tops中，tops是排序结果
        node = G.vexs[j].first_edge;    // 获取以该顶点为起点的出边队列

        // 将与"node"关联的节点的入度减1；
        // 若减1之后，该节点的入度为0；则将该节点添加到队列中。
        while(node != NULL)
        {
            // 将节点(序号为node->ivex)的入度减1。
            ins[node->ivex]--;
            // 若节点的入度为0，则将其"入队列"
            if( ins[node->ivex] == 0)
                queue[rear++] = node->ivex;  // 入队列

            node = node->next_edge;
        }
    }

    if(index != G.vexnum)
    {
        printf("Graph has a cycle
");
        free(queue);
        free(ins);
        free(tops);
        return 1;
    }

    // 打印拓扑排序结果
    printf("== TopSort: ");
    for(i = 0; i < num; i ++)
        printf("%c ", tops[i]);
    printf("
");

    free(queue);
    free(ins);
    free(tops);
    return 0;
}

说明： 
(01) queue的作用就是用来存储没有依赖顶点的顶点。它与前面所说的Q相对应。 
(02) tops的作用就是用来存储排序结果。它与前面所说的T相对应。

拓扑排序的完整源码和测试程序

c实现代码：

#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<malloc.h>
#define MAX 100

typedef struct ENode
{
    int ivex;
    struct ENode *next_edge;
}ENode;

typedef struct VNode
{
    char data;
    struct ENode *first_edge;
}VNode;

typedef struct LGraph
{
    int vexnum;
    int edgnum;
    VNode vexs[MAX];
}LGraph;

int get_position(LGraph g,char ch)
{
    int i;
    for(i=0;i<g.vexnum;i++)
        if(ch==g.vexs[i].data)
            return i;
    return -1;
}

LGraph* create_graph()
{
    char vexs[]= {'A','B','C','D','E','F','G'};
    char edges[][2]= {{'A','C'},{'B','A'},{'B','D'},{'C','F'},{'C','G'},{'D','E'},{'D','F'}};
    int vlen=sizeof(vexs)/sizeof(vexs[0]);
    int  elen=sizeof(edges)/sizeof(edges[0]);
    int i,p1,p2;
    ENode *node2;
    LGraph *pG;
    if((pG=(LGraph*)malloc(sizeof(LGraph)))==NULL)
        return NULL;
    memset(pG,0,sizeof(pG));
    pG->edgnum=elen;
    pG->vexnum=vlen;
    for(i=0;i<pG->vexnum;i++)
    {
        pG->vexs[i].data=vexs[i];
        pG->vexs[i].first_edge=NULL;
    }
    for(i=0;i<pG->edgnum;i++)
    {
        p1=get_position(*pG,edges[i][0]);
        p2=get_position(*pG,edges[i][1]);
        node2=(ENode*)malloc(sizeof(ENode));
        node2->ivex=p2;
        node2->next_edge=NULL;
        if(pG->vexs[p1].first_edge==NULL)
            pG->vexs[p1].first_edge=node2;
        else
        {
            ENode *tmp=pG->vexs[p1].first_edge;
            while(tmp->next_edge)
            {
                tmp=tmp->next_edge;
            }
            tmp->next_edge=node2;
        }
    }
    return pG;
}

void print_graph(LGraph G)
{
    int i;
    printf("List Graph:
");
    ENode *node=NULL;
    for(i=0;i<G.vexnum;i++)
    {
        printf("%d(%c): ", i, G.vexs[i].data);
        node=G.vexs[i].first_edge;
        while(node)
        {
            printf("%d(%c) ", node->ivex, G.vexs[node->ivex].data);
            node=node->next_edge;
        }
        printf("
");
    }
}

int topological_sort(LGraph G)
{
    int i,j;
    int index = 0;
    int head = 0;           // 辅助队列的头
    int rear = 0;           // 辅助队列的尾
    int *queue;             // 辅组队列
    int *ins;               // 入度数组
    char *tops;             // 拓扑排序结果数组，记录每个节点的排序后的序号。
    int num = G.vexnum;
    ENode *node;

    ins  = (int *)malloc(num*sizeof(int));  // 入度数组
    tops = (char *)malloc(num*sizeof(char));// 拓扑排序结果数组
    queue = (int *)malloc(num*sizeof(int)); // 辅助队列
    memset(ins, 0, num*sizeof(int));
    memset(tops, 0, num*sizeof(char));
    memset(queue, 0, num*sizeof(int));

    // 统计每个顶点的入度数
    for(i = 0; i < num; i++)
    {
        node = G.vexs[i].first_edge;
        while (node != NULL)
        {
            ins[node->ivex]++;
            node = node->next_edge;
        }
    }

    // 将所有入度为0的顶点入队列
    for(i = 0; i < num; i ++)
        if(ins[i] == 0)
            queue[rear++] = i;          // 入队列

    while (head != rear)                // 队列非空
    {
        j = queue[head++];              // 出队列。j是顶点的序号
        tops[index++] = G.vexs[j].data; // 将该顶点添加到tops中，tops是排序结果
        node = G.vexs[j].first_edge;    // 获取以该顶点为起点的出边队列

        // 将与"node"关联的节点的入度减1；
        // 若减1之后，该节点的入度为0；则将该节点添加到队列中。
        while(node != NULL)
        {
            // 将节点(序号为node->ivex)的入度减1。
            ins[node->ivex]--;
            // 若节点的入度为0，则将其"入队列"
            if( ins[node->ivex] == 0)
                queue[rear++] = node->ivex;  // 入队列

            node = node->next_edge;
        }
    }

    if(index != G.vexnum)
    {
        printf("Graph has a cycle
");
        free(queue);
        free(ins);
        free(tops);
        return 1;
    }

    // 打印拓扑排序结果
    printf("== TopSort: ");
    for(i = 0; i < num; i ++)
        printf("%c ", tops[i]);
    printf("
");

    free(queue);
    free(ins);
    free(tops);
    return 0;
}
int topologicalOrder(LGraph G)
{
    int i,j;
    int index=0;
    int front=0;
    int rear=0;
    int *queue;
    int *ins;
    char *tops;
    int num=G.vexnum;
    ENode *node;
    ins=(int *)malloc(num*sizeof(int));
    tops=(char *)malloc(num*sizeof(char));
    queue=(int *)malloc(num*sizeof(int));
    memset(ins,0,num*sizeof(ins));
    memset(tops,0,num*sizeof(tops));
    memset(queue,0,num*sizeof(queue));
    for(i=0;i<num;i++)
    {
        node=G.vexs[i].first_edge;
        //统计每个结点的入度数
        while(node)
        {
            ins[node->ivex]++;
            node=node->next_edge;
        }
    }
    //将入度数为0的结点加入到queue中
    for(i=0;i<num;i++)
    {
        if(ins[i]==0)
            queue[rear++]=i;
    }
    while(front!=rear)
    {
        j=queue[front++];
        tops[index++]=G.vexs[j].data;
        node=G.vexs[j].first_edge;
        while(node)
        {
            ins[node->ivex]--;
            if(ins[node->ivex]==0)
                queue[rear++]=node->ivex;
            node=node->next_edge;
        }
    }
    if(index!=G.vexnum)
    {
        printf("Graph has a cycle
");
        free(queue);
        free(ins);
        free(tops);
        return 1;
    }


    // 打印拓扑排序结果
    printf("TopSort: ");
    for(i = 0; i < num; i ++)
        printf("%c ", tops[i]);
    printf("
");

    free(queue);
    free(ins);
    free(tops);
    return 0;
}

int main()
{
    LGraph *pG;
    pG=create_graph();
    print_graph(*pG);
    topologicalOrder(*pG);
}

运行结果：