dice 概率论 概率DP

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/contests/contest_showproblem.php?pid=1010&cid=459

找出公式，公式有实际意义，某种情形当重复做n次实验时会出现一次，即出现的概率为1/n，现在要想出现这种情形，平均要做多少次实验，显然平均要做n次。

说一个具体的，比如掷色子，有6个点，6个点随机等概率出现。掷一次色子出现1的概率为1/6,现在想掷出1来，平均要掷色子多少次，即次数的数学期望是多少。

可以证明：

设掷i次色子才出现1的概率为p[i],则有

p[1] = 1/6;

p[2] = (5/6) *(1/6);第一次没有出现

p[3] = (5/6)^2*(1/6)

`````

p[n] = (5/6)^n-1*(1/6);前n-1次没有出现

``````

所以次数的数学期望为sum(k*p[k]),(k>=1,k为自然数，可以取到无穷)  ,据观察，有p[i] = p[i-1]*(5/6);

式子1：s = 1*p[1] + 2*p[2] + ``` +n*p[n] +````

式子2：(5/6)*s =     1*p[1] + ````(n-1)*p[n]+````（式子2为式子1的左右两边同时乘以5/6得到）

用式子1-式子2得

(1/6)*s = 1/6 + (1/6)*(5/6) + (1/6)*(5/6)^2````+(1/6)*(5/6)^n+```

又等比数列的公式得（1/6）*s =( 1/6(1 -(5/6)^n)/(1-5/6).由于n为正无穷，所有（5/6）^n =0;所以s = 6.

这个题的公式为：

情形1，出现连续n个相同后停止掷色子的次数的期望 = 1+m+m^2 + ``` + m^(n-1);

情形2，出现连续n个不同后停止掷色子的次数的期望 = 1+m/(m-1) + m^2/((m-1)*(m-2))+```+m^(n-1)/((m-1)*(m-2)*```*(m-n+1));

可以这样解释，情形1，先随便掷色子一次，后面要掷出和这个相同的期望数为m,然后仍要掷出相同的期望为m^2```

类推，后面要掷出和这个色子同色的概率为1/m,所以次数的期望为m。第三次掷色子要和前两次相同的概率为1/(m*m),所以期望为m*m```

其余就自己推吧···（未必对···）

另外一种方法：概率dp，摘自杭电解题报告

设dp[i]表示当前在 已经投掷出 i个 不相同/相同 这个状态时期望还需要投掷多少次，然后dp[i] 有如下等式：

相同：

    //dp[0] = 1 + dp[1]

    //dp[1] = 1 + ((m-1)dp[1] + dp[2]) / m

    //dp[i] = 1 + ((m-1)dp[1] + dp[i+1]) / m

    //...

    //dp[n] = 0;

不相同：

    //dp[0] = 1 + dp[1]

    //dp[1] = 1 + (dp[1] + (m-1) dp[2]) / m

    //dp[2] = 1 + (dp[1] + dp[2] + (m-2) dp[3]) / m

    //dp[i] = 1 + (dp[1] + dp[2] + ... dp[i] + (m-i)dp[i+1]) / m

    //...

    //dp[n] = 0; 

。。于是可以高斯消元。。对于第一问。。我们发现就是相当于 Typing Monkey 问题中字符串是 AAAA..AA 这一特殊情况。。解得递推式:

dp[n] = 0

dp[n-1] = dp[n] * m + 1

。。。

解开后等于等比数列求和。

（也可以直接得到这个公式。。。因为在当前状态只有 m/1 的概率可以进入下一状态，否则要重新来过。。而这一步会另总的步数 + 1。)

对于第二问。。

现在设s[i]=sigma{dp[i], 1..i}，对s[i] 列方程
每个方程是关于三个相邻的s[i] 的，然后就可以线性时间解出来了。

也可以设 d[i] = dp[i] - dp[i+1].

可以得到 d[i] =  m * d[i-1]  / (m-i)

然后就是解一元一次方程... 

参见：

http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=13614

http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=21631

http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=24402

http://www.cnblogs.com/ch3656468/archive/2011/05/04/2036332.html

上面的两种递推式肯定能推出上面的公式来，所以我直接用公式写的

贴代码：

#include <cstdio>
int main()
{
//    freopen("in.c","r",stdin);
    int t;
    while(scanf("%d",&t) != EOF)
    {
        while(t--)
        {
            double flag,m,n;
            scanf("%lf%lf%lf",&flag,&m,&n);
            double ans=1,tmp =1;
            if(flag == 0)
            {
                for(int i=1; i<n; ++i)
                {
                    tmp *= m;
                    ans += tmp;

                }
            }
            else
            {
                for(int i=1; i<n; ++i)
                {
                    tmp *= (m/(m-i));
                    ans += tmp;
                }
            }
            printf("%lf
",ans);
        }
    }
    return 0;
}