论事件划分的重要性

先上一道题目：

一个赌徒进行一系列相互独立的押注活动，每次押注，以概率p赢得1元，以概率1-p输掉一元，开始押注的时候他有k元，当他输光钱的时候，或者他累计钱数为n元的时候，就停止押注，问，他以累计钱数为n元而停止押注的概率有多大？

刚开始看到这个题的时候，想着直接算，没算出来，看到答案，惊呆了，巧妙的利用了事件的划分，因此就贴在这里了。

符号定义：

用 A 表示以累计钱数为n元而停止押注的事件，用 F 表示第一次押注而赢1元的事件，用 $w_{k}$ 表示他开始的时候具有k元钱的条件下事件A发生的概率。因此最终目的就是求解$w_{k}$。

这里利用了第一次押注事件来对整个事件进行了一个二划分，因此根据全概率公式可以得到：

$w_{k} = Pleft(A|F ight)Pleft(F ight)$+$Pleft(A|F^{c} ight)Pleft(F^{c} ight)$ = $pPleft(A|F ight)+(1-p)Pleft(A|F^{c} ight)$

由于题目中已经说明各次抵押是相互独立的，因此第一次押注赢得1元等同于以本金k+1元开始，即$Pleft(A|F ight)=w_{k+1}$，同样的道理，$Pleft(A|F^{c} ight)=w_{k-1}$。

因此最后得到一个递推的公式：

$w_{k}=pw_{k+1}+(1-p)w_{k-1}$

接下来利用这个递推公式进行一定量的运算就可以得到相应分析和结论了。

当然这里最重要最重要的就是要考虑到充分的利用事件的划分来简化问题的模型。