它们都是对表达式的记法，因此也被称为前缀记法、中缀记法和后缀记法。它们之间的区别在于运算符相对与操作数的位置不同：前缀表达式的运算符位于与其相关的操作数之前；中缀和后缀同理。
举例：
(3 + 4) × 5 - 6 是中缀表达式
- × + 3 4 5 6 前缀表达式
3 4 + 5 × 6 - 后缀表达式
中缀表达式（中缀记法）
中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法，操作符以中缀形式处于操作数的中间。中缀表达式是人们常用的算术表示方法。
虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式，但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的（主要是需要考虑运算符的优先级等问题），因此计算表达式的值时，通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式，然后再进行求值。对计算机来说，计算前缀或后缀表达式的值非常简单。
前缀表达式（前缀记法、波兰式）
前缀表达式的运算符位于操作数之前。
前缀表达式的计算机求值
从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如前缀表达式“- × + 3 4 5 6”：
(1) 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈；
(2) 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
(3) 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈；
(4) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。
可以看出，用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。
将中缀表达式转换为前缀表达式
遵循以下步骤：
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从右至左扫描中缀表达式；
(3) 遇到操作数时，将其压入S2；
(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈；
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 如果是右括号“)”，则直接压入S1；
(5-2) 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最左边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。
例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为前缀表达式的过程如下：
|
扫描的元素 |
S2（左为栈底） |
S1（左为栈底） |
说明 |
| 5 | 5 | 空 | 数字，直接入栈 |
| - | 5 | - | S1为空，运算符直接入栈 |
| ) | 5 | - ) | 右括号直接入栈 |
| 4 | 5 4 | - ) | 数字直接入栈 |
| × | 5 4 | - ) × | S1栈顶是右括号，直接入栈 |
| ) | 5 4 | - ) × ) | 右括号直接入栈 |
| 3 | 5 4 3 | - ) × ) | 数字 |
| + | 5 4 3 | - ) × ) + | S1栈顶是右括号，直接入栈 |
| 2 | 5 4 3 2 | - ) × ) + | 数字 |
| ( | 5 4 3 2 + | - ) × | 左括号，弹出运算符直至遇到右括号 |
| ( | 5 4 3 2 + × | - | 同上 |
| + | 5 4 3 2 + × | - + | 优先级与-相同，入栈 |
| 1 | 5 4 3 2 + × 1 | - + | 数字 |
| 到达最左端 | 5 4 3 2 + × 1 + - | 空 | S1中剩余的运算符 |
因此结果为“- + 1 × + 2 3 4 5”。
后缀表达式（后缀记法、逆波兰式）
后缀表达式与前缀表达式类似，只是运算符位于操作数之后。
后缀表达式的计算机求值
与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：
从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素 op 栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如后缀表达式“3 4 + 5 × 6 –”：
(1) 从左至右扫描，将3和4压入堆栈；
(2) 遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
(3) 将5入栈；
(4) 接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；
(5) 将6入栈；
(6) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。
将中缀表达式转换为后缀表达式
与转换为前缀表达式相似，遵循以下步骤：
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从左至右扫描中缀表达式；
(3) 遇到操作数时，将其压入S2；
(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 如果是左括号“(”，则直接压入S1；
(5-2) 如果是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最右边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。
例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下：
| 扫描的元素 | S2（左侧为栈底） | S1（左侧为栈底） | 说明 |
| 1 | 1 | 空 | 数字，直接入栈 |
| + | 1 | + | S1为空，运算符直接入栈 |
| ( | 1 | + ( | 左括号，直接入栈 |
| ( | 1 | + ( ( | 同上 |
| 2 | 1 2 | + ( ( | 数字 |
| + | 1 2 | + ( ( + | S1栈顶为左括号，运算符直接入栈 |
| 3 | 1 2 3 | + ( ( + | 数字 |
| ) | 1 2 3 + | + ( | 右括号，弹出运算符直至遇到左括号 |
| × | 1 2 3 + | + ( × | S1栈顶为左括号，运算符直接入栈 |
| 4 | 1 2 3 + 4 | + ( × | 数字 |
| ) | 1 2 3 + 4 × | + | 右括号，弹出运算符直至遇到左括号 |
| - | 1 2 3 + 4 × + | - | -与+优先级相同，因此弹出+，再压入- |
| 5 | 1 2 3 + 4 × + 5 | - | 数字 |
| 到达最右端 | 1 2 3 + 4 × + 5 - | 空 | S1中剩余的运算符 |
因此结果为“1 2 3 + 4 × + 5 -”（注意需要逆序输出）。
编写Java程序将一个中缀表达式转换为前缀表达式和后缀表达式，并计算表达式的值。其中的toPolishNotation()方法将中缀表达式转换为前缀表达式（波兰式）、toReversePolishNotation()方法则用于将中缀表达式转换为后缀表达式（逆波兰式）。程序很长且注释比较少，但如果将上面的理论内容弄懂之后再将程序编译并运行起来，还是比较容易理解的。有耐心的话可以研究一下。
package qmk.simple_test; import java.util.Scanner; import java.util.Stack; /** * Example of converting an infix-expression to * Polish Notation (PN) or Reverse Polish Notation (RPN). * Written in 2011-8-25 * @author QiaoMingkui */ public class Calculator { public static final String USAGE = "== usage == " + "input the expressions, and then the program " + "will calculate them and show the result. " + "input 'bye' to exit. "; /** * @param args */ public static void main(String[] args) { System.out.println(USAGE); Scanner scanner = new Scanner(System.in); String input = ""; final String CLOSE_MARK = "bye"; System.out.println("input an expression:"); input = scanner.nextLine(); while (input.length() != 0 && !CLOSE_MARK.equals((input))) { System.out.print("Polish Notation (PN):"); try { toPolishNotation(input); } catch (NumberFormatException e) { System.out.println(" input error, not a number."); } catch (IllegalArgumentException e) { System.out.println(" input error:" + e.getMessage()); } catch (Exception e) { System.out.println(" input error, invalid expression."); } System.out.print("Reverse Polish Notation (RPN):"); try { toReversePolishNotation(input); } catch (NumberFormatException e) { System.out.println(" input error, not a number."); } catch (IllegalArgumentException e) { System.out.println(" input error:" + e.getMessage()); } catch (Exception e) { System.out.println(" input error, invalid expression."); } System.out.println("input a new expression:"); input = scanner.nextLine(); } System.out.println("program exits"); } /** * parse the expression , and calculate it. * @param input * @throws IllegalArgumentException * @throws NumberFormatException */ private static void toPolishNotation(String input) throws IllegalArgumentException, NumberFormatException { int len = input.length(); char c, tempChar; Stack<Character> s1 = new Stack<Character>(); Stack<Double> s2 = new Stack<Double>(); Stack<Object> expression = new Stack<Object>(); double number; int lastIndex = -1; for (int i=len-1; i>=0; --i) { c = input.charAt(i); if (Character.isDigit(c)) { lastIndex = readDoubleReverse(input, i); number = Double.parseDouble(input.substring(lastIndex, i+1)); s2.push(number); i = lastIndex; if ((int) number == number) expression.push((int) number); else expression.push(number); } else if (isOperator(c)) { while (!s1.isEmpty() && s1.peek() != ')' && priorityCompare(c, s1.peek()) < 0) { expression.push(s1.peek()); s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), s1.pop())); } s1.push(c); } else if (c == ')') { s1.push(c); } else if (c == '(') { while ((tempChar=s1.pop()) != ')') { expression.push(tempChar); s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar)); if (s1.isEmpty()) { throw new IllegalArgumentException( "bracket dosen't match, missing right bracket ')'."); } } } else if (c == ' ') { // ignore } else { throw new IllegalArgumentException( "wrong character '" + c + "'"); } } while (!s1.isEmpty()) { tempChar = s1.pop(); expression.push(tempChar); s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar)); } while (!expression.isEmpty()) { System.out.print(expression.pop() + " "); } double result = s2.pop(); if (!s2.isEmpty()) throw new IllegalArgumentException("input is a wrong expression."); System.out.println(); if ((int) result == result) System.out.println("the result is " + (int) result); else System.out.println("the result is " + result); } /** * parse the expression, and calculate it. * @param input * @throws IllegalArgumentException * @throws NumberFormatException */ private static void toReversePolishNotation(String input) throws IllegalArgumentException, NumberFormatException { int len = input.length(); char c, tempChar; Stack<Character> s1 = new Stack<Character>(); Stack<Double> s2 = new Stack<Double>(); double number; int lastIndex = -1; for (int i=0; i<len; ++i) { c = input.charAt(i); if (Character.isDigit(c) || c == '.') { lastIndex = readDouble(input, i); number = Double.parseDouble(input.substring(i, lastIndex)); s2.push(number); i = lastIndex - 1; if ((int) number == number) System.out.print((int) number + " "); else System.out.print(number + " "); } else if (isOperator(c)) { while (!s1.isEmpty() && s1.peek() != '(' && priorityCompare(c, s1.peek()) <= 0) { System.out.print(s1.peek() + " "); double num1 = s2.pop(); double num2 = s2.pop(); s2.push(calc(num2, num1, s1.pop())); } s1.push(c); } else if (c == '(') { s1.push(c); } else if (c == ')') { while ((tempChar=s1.pop()) != '(') { System.out.print(tempChar + " "); double num1 = s2.pop(); double num2 = s2.pop(); s2.push(calc(num2, num1, tempChar)); if (s1.isEmpty()) { throw new IllegalArgumentException( "bracket dosen't match, missing left bracket '('."); } } } else if (c == ' ') { // ignore } else { throw new IllegalArgumentException( "wrong character '" + c + "'"); } } while (!s1.isEmpty()) { tempChar = s1.pop(); System.out.print(tempChar + " "); double num1 = s2.pop(); double num2 = s2.pop(); s2.push(calc(num2, num1, tempChar)); } double result = s2.pop(); if (!s2.isEmpty()) throw new IllegalArgumentException("input is a wrong expression."); System.out.println(); if ((int) result == result) System.out.println("the result is " + (int) result); else System.out.println("the result is " + result); } /** * calculate the two number with the operation. * @param num1 * @param num2 * @param op * @return * @throws IllegalArgumentException */ private static double calc(double num1, double num2, char op) throws IllegalArgumentException { switch (op) { case '+': return num1 + num2; case '-': return num1 - num2; case '*': return num1 * num2; case '/': if (num2 == 0) throw new IllegalArgumentException("divisor can't be 0."); return num1 / num2; default: return 0; // will never catch up here } } /** * compare the two operations' priority. * @param c * @param peek * @return */ private static int priorityCompare(char op1, char op2) { switch (op1) { case '+': case '-': return (op2 == '*' || op2 == '/' ? -1 : 0); case '*': case '/': return (op2 == '+' || op2 == '-' ? 1 : 0); } return 1; } /** * read the next number (reverse) * @param input * @param start * @return * @throws IllegalArgumentException */ private static int readDoubleReverse(String input, int start) throws IllegalArgumentException { int dotIndex = -1; char c; for (int i=start; i>=0; --i) { c = input.charAt(i); if (c == '.') { if (dotIndex != -1) throw new IllegalArgumentException( "there have more than 1 dots in the number."); else dotIndex = i; } else if (!Character.isDigit(c)) { return i + 1; } else if (i == 0) { return 0; } } throw new IllegalArgumentException("not a number."); } /** * read the next number * @param input * @param start * @return * @throws IllegalArgumentException */ private static int readDouble(String input, int start) throws IllegalArgumentException { int len = input.length(); int dotIndex = -1; char c; for (int i=start; i<len; ++i) { c = input.charAt(i); if (c == '.') { if (dotIndex != -1) throw new IllegalArgumentException( "there have more than 1 dots in the number."); else if (i == len - 1) throw new IllegalArgumentException( "not a number, dot can't be the last part of a number."); else dotIndex = i; } else if (!Character.isDigit(c)) { if (dotIndex == -1 || i - dotIndex > 1) return i; else throw new IllegalArgumentException( "not a number, dot can't be the last part of a number."); } else if (i == len - 1) { return len; } } throw new IllegalArgumentException("not a number."); } /** * return true if the character is an operator. * @param c * @return */ private static boolean isOperator(char c) { return (c=='+' || c=='-' || c=='*' || c=='/'); } }
下面是程序运行结果（绿色为用户输入）：