关于数论

质数

目前了解的筛法

埃氏筛，时间复杂度(nlogn)，(log)是根据调和级数算出来的，Dirichlet 前缀和和这个也有点像。

线性筛，平时比较常用的筛法，貌似所有的积性函数都可以筛就看自己会不会筛了。

一些定理

唯一分解定理，(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}p_3^{c_3}p_k^{c_k})，经常用到。

费马小定理，(a^{p-1}equiv1 pmod p)，(p)为质数。

欧拉定理，(a^{phi(p)}equiv 1 pmod p)，(a,p)互质。

中国剩余定理(CRT)，对于一组同余方程

[xequiv a_i pmod {m_i} ]

其中各模数互质，设(M)为各模数乘积，有通解(x=sum a_i imes frac{M}{m_i} imes t)，其中(t)为(frac{M}{m_i})的逆元

证明如下：

对于(frac{M}{m_i} imes t)，当模数为(m_i)的时候，该式子为(1)，否则为(0)，所以(x)满足各个方程。

卢卡斯定理(Lucas)，(C_n^mequiv C_{n/p}^{m/p} imes C_{n\%p}^{m\%p} pmod p)

一般和CRT一起使用，对于模数可以分解为最高次幂不超过(1)的质数积的时候，先求出每个模数下的答案然后CRT合并即可。

证明如下：

首先证明(C_p^iequiv 0 1<=i<=p-1)

[C_p^i = frac{p!}{i!(p-i)!}=frac{p}ifrac{(p-1)!}{(i-1)!(p-1-i+1)!} ]

因为(i)是小于(p)的，所以一定存在逆元，于是

[C_p^iequiv pi^{-1}frac{(p-1)!}{(i-1)!(p-1-i+1)!}=pi^{-1}C_{p-1}^{i-1} ]

所以(C_p^iequiv 0 1<=i<=p-1)

于是((x+1)^p=C_p^0x^p+C_p^1x^{p-1}+C_p^2x^{p-2}+C_p^p)

中间那一大段都是(0)

所以((x+1)^pequiv x^p+1)

不妨设(n=ap+b,m=cp+d)

((x+1)^n)中第(m+1)项为(C_n^mx^m)

((x+1)^n=(x+1)^{ap}(x+1)^bequiv(x^p+1)^{a}(x+1)^b)

从前边选出(cp)，即(C_a^cx^{cp})，从后边选出(d)，有(C_b^dx^d)

所以(C_a^cx^{cp}C_b^dx^d=C_a^cC_b^dx^m)

比较系数得，(C_n^mequiv C_{n/p}^{m/p} imes C_{n\%p}^{m\%p} pmod p)

注意如果后边(b<d)的话结果一定为(0)，写出原始的式子就明白了。

扩展卢卡斯定理

感觉这个跟卢卡斯定理没什么关系，主要思想是把里边所有的(p)拿出来单独考虑，然后它就有逆元了，于是就能正常处理了。

拉格朗日插值

对于高次多项式

[f_x=a+bx+cx^2+dx^3...+x^n ]

给出(n+1)个值求出它的表达式

暴力做就是高斯消元，(n^3)，但是巨佬感觉太慢了，于是它就提出了一个快速的方法。

[f_x=sum_i{y_i}prod_{i!=j}frac{x-x_j}{x_i-x_j} ]

直接把要求的值往里边代就行了，至于为什么，因为它是被构造出来的，所以代入几个值都对于是证毕？？？

逆元

exgcd求逆元

要求(axequiv1pmod{b})

可以把它变化成为(ax-by=1)，

因为只求(x)，所以变换(y)的系数没关系

得到(ax+by=1)
因为当二者互质时一定有解

所以，(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)=1)

所以(bx'+a\%by'=1)
然后得到(ax+by==bx'+(a-lfloorfrac{a}{b} floor b)y')
又因为求整数解，所以让对应的系数相等即可。

得到(x=(a-lfloorfrac{a}{b} floor b)y'),(y=x')

exgcd求方程的其他解

令特解为(x_0,y_0)

那么有(ax_0+by_0=ax+by)

(a(x_0-x)==b(y-y_0))

(frac{a}{gcd(a,b)}(x_0-x)=frac{b}{gcd(a,b)}(y-y_0))

这时由于系数是互质的，
(x_0-x=frac{b}{gcd(a,b)}),

所以(x=x_0-frac{b}{gcd(a,b)})。

线性求逆元

设(Mod=ki+r)

则有(ki+requiv 0pmod{Mod})

同时乘上(i^{-1}r^{-1})得到(kr^{-1}+i_{-1}equiv 0pmod{Mod})

所以(i^{-1}equiv-kr^{-1}pmod{Mod})

即(i^{-1}equiv-lfloorfrac{Mod}{i} floor(p\%i)^{-1})