[LeetCode]73. Sqrt(x)平方根

Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x.

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解法1：使用求正数的平方根的一般二分查找法：

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x == 0 || x == 1) return x;
        double limit = 0.000001;
        double left = 0, right = x, mid = (left + right) / 2.0;
        double dist = x - mid * mid;
        while (abs(dist) > limit) {            
            if (dist > limit) left = mid;
            else right = mid;
            mid = (left + right) / 2.0;
            dist = x - mid * mid;
        }
        return mid;
    }
};

解法2：因为输出为int型，实际并不需要精确求出x的实际平方根，因此可以改进：

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        long long left = 0, right = x;
        while (left <= right) {
            long long mid = (left + right) / 2;
            long long sqrt = mid * mid;
            if (sqrt == x) return mid;
            else if (sqrt > x) right = mid - 1;
            else left = mid + 1;
        }
        return right; //注意若无精确值，则返回略小于其平方根的那个
    }
};

解法3：可以使用牛顿迭代法求f(x)=0的根，而求n的平方根相当于求解方程f(x)=x^2-n=0的根，所以可以使用此方法。

设r是 的根，选取 作为r的初始近似值，过点  做曲线  的切线L，L的方程为  ，求出L与x轴交点的横坐标  ，称x1为r的一次近似值。过点  做曲线  的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标  ，称  为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中，  称为r的  次近似值。

将上面公式应用到方程f(x)=x^2-n=0即可得到公式：

一般取初始值x0=1。

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        double limit = 0.000001, root = 1.0;
        while (abs(x - root * root) > limit)
            root = (root + x / root) / 2.0;
        return root;
    }
};

求平方根还有其他一些算法，比如卡马克算法。