尺取法

　　尺取法通常是指对数组保存一对下标（起点，终点），然后根据实际情况交替推进两个端点直到得出答案的方法。

　1.

　

　　

　　由于所有的元素都大于零，如果子序列 [s, t] 满足 a_s + .... a_t ≥ S，那么对于任何的 t < t' 一定有 a_s + .... a_t‘-1 ≥ S。

此外对于区间[ s, t]上的总和来说，如果令 sum（i）= a₀ + .... + a_{i - 1}，那么　　a_s + .... a_{t - 1} = sum（t）- sum（s）。

　　因此预先以O（n）的时间计算好 sum 的话，就可以以O（1）的时间计算区间上的总和。这样的haul，子序列的起点 s 确定以后，便可以用二分搜索快速地确定使序列和不小于 S 的结尾的最小值。

int n, S;
int a[MAX_N];

int sum[MAX_N + 1];

void solve() {
    for (int i = 0; i < n; i++)
        sum[i + 1] = sum[i] + a[i];
    if (sum[n] < S) {
        printf("0
");
        return;
    }
    int res = n;
    for (int s = 0, sum[s] + S <= sum[n]; s++) {
        int t = lower_bound(sum + s, sum + n, sum[s] + S) - sum;
        res = min(res, t - s);
    }
    printf("%d
", res);
}

　　复杂度为O（n log n）。但我们还可以更加高效地来求解。

　　设以 a_i 开始总和最初大于 S 时的连续子序列为 a_s + .. +a_t ，这时 a_s+1 + ... + a_{t - 2} < a_s +...+ a_t-2 < S

　　所以从 a_s+1 开始总和最初超过 S 的连续子序列如果是 a_s + .. +a_{t‘ +1} 的话，则必然有 t ≤ t'。利用这一特性便可以设计出如下算法：

　　（1）以 s = t = sum = 0 初始化；

　　（2）只要依然有 sum < S，就不断将 sum 增加 a_t ，并将 t 增加 1；

　　（3）如果（2）中无法满足 sum ≥ S 则终止。否则的话，更新 res = min（res， t - s）；

　　（4）将 sum 减去 a_s，s 增加 1 然后回到（2）。

　　对于这个算法，因为 t 最多变化 n 次，因此只需O（n）的复杂度就可以求解这个问题。

void solve() {
    int res = n + 1;
    int s = 0, t = 0, sum = 0;
    for (;;) {
        while (t < n && sum < S)
            sum += a[t++];
        if (sum < S) break;
        res = min(res, t - s);
        sum -= a[s++];
    }
    if (res > n) res = 0; //解不存在 
    printf("%d
", res);
}

　　

像这样反复地推进区间的开头和末尾，来求取满足条件的最小区间的方法称为尺取法。

 2.

　　

　　

　　我们假设从某一页 s 开始阅读，为了覆盖所有的知识点需要阅读到 t。这样的话可以知道如果从 s + 1 开始阅读的话，那么必须阅读到 t' ≥ t 页为止。由此这题也可以使用尺取法。

　　在某个区间[ s, t ] 已经覆盖了所有的知识点的情况下，下一个区间 [ s + 1, t' ] （t' ≥ t）要如何求出呢？

　　所有的知识点都被覆盖 等价于 每个知识点出现的次数都不小于 1

　　由以上的等价关系，我们可以用二叉树等数据结构来存储 [ s, t ]区间上每个知识点的出现次数，这样把最开头的页 s 去除后便可以判断 [ s + 1, t ] 是否满足条件。

　　从区间的最开头把 s 取出之后，页 s 上书写的知识点的出现次数就要减一，如果此时这个知识点的出现次数为 0 了，在同一个知识点再次出现前，不停将区间末尾向后推进即可。每次在区间末尾追加页 t 上的知识点的出现次数加 1，这样就完成了下一个区间上各个知识点出现次数的更新，通过重复这一操作可以以O（P log P）的复杂度求出最小的区间。

int p;
int a[MAX_P];

void solve() {
    // 计算全部知识点的总数
    set<int> all;
    for (int i = 0; i < P; i++)
        all.insert(a[i]);
    int n = all.size();
    
    int s = 0, t = 0, num = 0;
    map<int, int> count;
    int res = P;
    for(;;) {
        while (t < P && num < n) 
            if (count[a[t++]]++ == 0) // 出现新的知识点 
                num++;
        if (num < n) break;
        res = min(res, t - s);
        if (--count[a[s++]] == 0)  //某个知识点的出现次数为 0 了 
            num--;
    } 
    printf("%d
", res);
}