4.1.8 巴什博弈

只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。

显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果
n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。那么这个时候只要n%(m+1)!=0,先取者一定获胜。

    这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。

    分析此类问题主要放法是：P/N分析：

    P点：即必败点，某玩家位于此点，只要对方无失误，则必败；

    N点：即必胜点，某玩家位于此点，只要自己无失误，则必胜。
     三个定理：
    一、所有终结点都是必败点P（上游戏中，轮到谁拿牌，还剩0张牌的时候，此人就输了，因为无牌可取）；
   二、所有一步能走到必败点P的就是N点；
   三、通过一步操作只能到N点的就是P点；
巴什博弈的一个最重要的特征就是只有一堆。然后就在其中改，要么在范围内不规定个数，要么就规定只能取几个，再要么就倒过来，毕竟是最简单的博弈，代码相对而言较短额~

 

如果是n堆的话，那就变成的Nim游戏，SG。HDU 1851

n=(p+q)x+s
I:        n-s                n=(p+q)x
H:        n-k                n=(p+q)x-k
I:        n-((p+q)-k)        n=(p+q)(x-1)
......
H:        n-k
I:        n-((p+q)-k)        n=p+q
H:        n-k                p<=n<=q
I:        n-((p+q)-k)        n=0

s=0
I:        n-k
H:        n-((p+q)-k)        n=(p+q)(x-1)
......
H        n-((p+q)-k)        n=p+q
I:        n-k                n<=q
H:      win
s<p        
I:        n-k                p+s<(p+q+s)-k<q+s
H:        n-((p+q)-k)        (p+q)(x-1)+s
......
H:        n-((p+q)-k)        (p+q)+s
I:        n-k                
H:        n-((p+q)-k)        s
I:        win                n=0    
p<=s<=q
conclusion:
    s==0    I LOST
    s!=0    I WIN    
I:win

#include<iostream>
using namespace std;
bool win[10000];
int main(){
    int n,p,q;
    while(cin>>n>>p>>q){
        win[0]=false;
        for(int i=1;i<=p;i++)
            win[i]=true;
        for(int i=p+1;i<=n;i++){
            for(int j=p;j<=q;j++)
                win[i]|=j<=i&&!win[i-j];
        }
        for(int i=0;i<=n;i++)
            cout<<i<<" "<<win[i]<<endl; 
        if(win[n]) cout<<"WIN"<<endl;
        else cout<<"LOST"<<endl;
    }
} 
每行有三个数字n，p，q，表示一堆硬币一共有n枚，
从这个硬币堆里取硬币，一次最少取p枚，最多q枚，
如果剩下少于p枚就要一次取完。
两人轮流取，直到堆里的硬币取完，最后一次取硬币的算输。
对于每一行的三个数字，给出先取的人是否有必胜策略，如果有回答WIN，否则回答LOST。

















n=(p+q)x+s
I:        n-s                n=(p+q)x
H:        n-k                n=(p+q)x-k
I:        n-((p+q)-k)        n=(p+q)(x-1)
......
H:        n-k
I:        n-((p+q)-k)        n=p+q
H:        n-k                p<=n<=q
I:        n-((p+q)-k)        n=0

s=0
I:        n-k
H:        n-((p+q)-k)        n=(p+q)(x-1)
......
H        n-((p+q)-k)        n=p+q
I:        n-k                n<=q
H:      win
s<p        
I:        n-k                p+s<(p+q+s)-k<q+s
H:        n-((p+q)-k)        (p+q)(x-1)+s
......
H:        n-((p+q)-k)        (p+q)+s
I:        n-k                
H:        n-((p+q)-k)        s
I:        win                n=0    
p<=s<=q
I:win
conclusion:
    s==0    I LOST        
    s!=0    I WIN        

7 2 4   1   WIN
6 2 4   0   LOST

s=0
I:        n-q                n=(p+q)(x-1)+p
H:      n-k                n=(p+q)(x-1)+p-k
I:        n-((p+q)-k)        n=(p+q)(x-2)+p
......
I:        n-((p+q)-k)        n=p
I:        WIN
H:        LOST
0<s<=p
I:        n-k                
H:        n-((p+q)-k)        n=(p+q)(x-1)+s
......
H:        n-((p+q)-k)        n=s
I:        LOST
p<s<p+q
I:        n-a (0<s-a<=p)    s-p<=a<s        
......
H:        n-((p+q)-a)        n=s
I:        WIN