复数乘法是什么？

逛木虫的时候看到一个很旧的数学帖子被人挖了坟，这个帖子大概是讨论如果把复数看作是向量，那么复数乘法应该怎么看待？向量之间有乘法？例如复数$(1+i)$和复数$i$，其对应的向量分别是$left[ {egin{array}{*{20}{c}} 1\ 1 end{array}} ight]$和$left[ {egin{array}{*{20}{c}} 0\ 1 end{array}} ight]$，那么两个向量怎么运算才能得到复数$-1+i$对应的向量$left[ {egin{array}{*{20}{c}} -1\ 1 end{array}} ight]$呢？

事实上，我认为只把复数看作是向量是不够的！既然把复数看作向量，那么我们也应该讨论（线性）变换，这是make sense的。因此，如果我们把向量也看作是线性变换，那么结果就是trivial的了！

我们知道，每个非零复数都具有指数形式（exponential form）：$z = r{e^{i heta }}$。而${e^{i heta }}$是一个“旋转变换”，即把一个向量顺时针旋转$ heta$角度，在线性代数的角度看来，其对应的线性变换是$left[ {egin{array}{*{20}{c}}
{cos heta }&{ - sin heta }\
{sin heta }&{cos heta }
end{array}} ight].$因此，每一个复数都可以唯一地对应于一个线性变换：$$z = r{e^{i heta }} sim rleft[ {egin{array}{*{20}{c}}
{cos heta }&{ - sin heta }\
{sin heta }&{cos heta }
end{array}} ight].$$ 于是，复数乘法$z_1 * z_2$我们就可以把复数$z_1$看作是线性变换$T$，而复数$z_2$看作是其对应的向量$v$，就有$$z_1 * z_2 sim T v.$$最后我们把向量$T v$再对应回复数域即可。

(2019) 一种更简单的将复数转换成矩阵算子的方法的灵感来源于算子的矩阵表示. 即一个算子将一个空间中的基底映射到另一空间中, 然后以另一空间的基底表示该向量, 则可导出算子的矩阵表达. 由于复数是二维空间, 因此将复数$z$转换成矩阵, 只需要将$z$以及$zcdot i$转换成向量, 最后按列拼接即可.

Example. 计算复数乘法$(1+i)*i$。

首先我们容易知道$1 + i = sqrt 2 {e^{ifrac{pi }{4}}} sim sqrt 2 left[ {egin{array}{*{20}{c}}
{cos frac{pi }{4}}&{ - sin frac{pi }{4}}\
{sin frac{pi }{4}}&{cos frac{pi }{4}}
end{array}} ight] = left[ {egin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}\
1&1
end{array}} ight]$，并且$i sim left[ {egin{array}{*{20}{c}}
0\
1
end{array}} ight]$，则$left[ {egin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}\
1&1
end{array}} ight]left[ {egin{array}{*{20}{c}}
0\
1
end{array}} ight] = left[ {egin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\
1
end{array}} ight] sim -1 + i$。因此$left( {1 + i} ight)i =  - 1 + i$。

Example (矩阵表示法). 计算复数乘法$(1+i)*(2-3i)$。

将$(1+i)cdot 1 = 1+i$以及$(1+i)cdot i = -1+i$改写成矩阵表示, 即$egin{bmatrix} 1 & -1\ 1 & 1 end{bmatrix}$; 将$2-3i$变换成向量$egin{bmatrix}2 \ -3 end{bmatrix}$. 则

egin{align*}
(1+i)*(2-3i) sim egin{bmatrix} 1 & -1\ 1 & 1 end{bmatrix}egin{bmatrix}2 \ -3 end{bmatrix} = egin{bmatrix}5 \ -1 end{bmatrix}
end{align*}

则$(1+i)*(2-3i) = 5-i$.