LG4194 矩阵

矩阵

给定一个 (n imes m) 的整数矩阵 (A) ，你需要构造一个 (n imes m) 的整数矩阵 (B) ，满足 (B) 中的每个元素 (B_{i,j}in [L, R]) 。

定义 (r(i) = |sum_{j=1}^{m}A_{i,j} - sum_{j=1}^m B_{i,j}|) ，即两个矩阵第 (i) 行元素和之差。

定义 (c(j)= |sum_{i=1}^n A_{i,j} - sum_{j=1}^m B_{i,j}|) ，即两个矩阵第 (j) 列元素和之差。

请求出 (max lbrace max_{i=1}^n r(i), max_{j=1}^m c(j) brace) 的最小值，并输出一组构造矩阵 (B) 的方案,使得这个最小值被取到。

若有多种合法的构造方案，你只需输出其中任意一组。

(n,mle 200, 0le Lle Rle 1000, 0le A_{i,j}le 1000)。

题解

把两个矩阵叠加到一起，每个格子((i,j))里的元素可以看成(A_{i,j}-R+x~(xin [0,R-L]))。

可以认为(r(i),c(j))有初始值，把(x)看成调整(r(i))和(c(j))的变量。

二分答案，因为(R-L)非负，并且(r(i),c(j))的需要的调整量一定属于某个非负区间，所以行列连边后就转化成了有上下界可行流。

CO int N=410,inf=1e9;
namespace flow{
	int S,T;
	struct edge {int y,c,a;};
	vector<edge> to[N];
	int dis[N];
	
	IN void init(int n){
		S=n-1,T=n;
		for(int i=1;i<=T;++i) to[i].clear();
	}
	IN void link(int x,int y,int c){
		to[x].push_back((edge){y,c}),to[y].push_back((edge){x,0});
		to[x].back().a=to[y].size()-1,to[y].back().a=to[x].size()-1;
	}
	bool bfs(){
		fill(dis+1,dis+T+1,inf),dis[T]=0;
		deque<int> Q(1,T);
		while(Q.size()){
			int x=Q.front();Q.pop_front();
			for(int i=0;i<(int)to[x].size();++i){
				CO edge&e=to[x][i];
				if(to[e.y][e.a].c and dis[e.y]>dis[x]+1)
					dis[e.y]=dis[x]+1,Q.push_back(e.y);
			}
		}
		return dis[S]<inf;
	}
	int dfs(int x,int lim){
		if(x==T) return lim;
		int rest=lim;
		for(int i=0;i<(int)to[x].size();++i){
			edge&e=to[x][i];
			if(e.c and dis[e.y]==dis[x]-1){
				int delta=dfs(e.y,min(e.c,rest));
				if(!delta) {dis[e.y]=inf; continue;}
				rest-=delta,e.c-=delta,to[e.y][e.a].c+=delta;
				if(!rest) break;
			}
		}
		return lim-rest;
	}
	int main(){
		int ans=0;
		while(bfs()) ans+=dfs(S,inf);
		return ans;
	}
}

int n,m,A[N][N],B[N][N];
int L,R,row[N],col[N];
int in[N],out[N];

bool solve(int lim){
	flow::init(n+m+4);
	int s=n+m+1,t=n+m+2;
	flow::link(t,s,inf);
	for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j) flow::link(i,n+j,R-L);
	fill(in+1,in+t+1,0),fill(out+1,out+t+1,0);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(row[i]>=-lim) {flow::link(s,i,lim-row[i]); continue;}
		out[s]+=-lim-row[i],in[i]+=-lim-row[i];
		flow::link(s,i,2*lim);
	}
	for(int j=1;j<=m;++j){
		if(col[j]>=-lim) {flow::link(n+j,t,lim-col[j]); continue;}
		out[n+j]+=-lim-col[j],in[t]+=-lim-col[j];
		flow::link(n+j,t,2*lim);
	}
	for(int i=1;i<=t;++i){
		if(in[i]>out[i]) flow::link(flow::S,i,in[i]-out[i]);
		else if(in[i]<out[i]) flow::link(i,flow::T,out[i]-in[i]);
	}
	flow::main();
	for(int i=0;i<(int)flow::to[flow::S].size();++i){
		CO flow::edge&e=flow::to[flow::S][i];
		if(e.c>0) return 0;
	}
	for(int i=0;i<(int)flow::to[flow::T].size();++i){
		CO flow::edge&e=flow::to[flow::T][i];
		if(flow::to[e.y][e.a].c>0) return 0;
	}
	return 1;
}
int main(){
//	freopen("mat.in","r",stdin),freopen("mat.out","w",stdout);
	read(n),read(m);
	for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j) read(A[i][j]);
	read(L),read(R);
	for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j) A[i][j]-=R;
	int l=0,r=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=1;j<=m;++j) row[i]+=A[i][j];
		if(row[i]>0) l=max(l,row[i]);
		r=max(r,abs(row[i]));
	}
	for(int j=1;j<=m;++j){
		for(int i=1;i<=n;++i) col[j]+=A[i][j];
		if(col[j]>0) l=max(l,col[j]);
		r=max(r,abs(col[j]));
	}
	while(l<r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(solve(mid)) r=mid;
		else l=mid+1;
	}
	printf("%d
",l);
	solve(l);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=0;j<(int)flow::to[i].size();++j){
			CO flow::edge&e=flow::to[i][j];
			if(n+1<=e.y and e.y<=n+m) B[i][e.y-n]=R-(R-L-e.c);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j) printf("%d%c",B[i][j]," 
"[j==m]);
	return 0;
}