删数
对于任意一个数列，如果能在有限次进行下列删数操作后将其删为空数列，则称这个数列可以删空。一次删数操作定义如下：
- 记当前数列长度为 (k)，则删掉数列中所有等于 (k) 的数。
现有一个长度为 (n) 的数列 (a)，有 (m) 次修改操作，第 (i) 次修改后你要回答：经过 (i) 次修改后的数列 (a)，至少还需要修改几个数才可删空？
每次修改操作为单点修改或数列整体加一或数列整体减一。
对于 (100\%) 的数据，
- (1le n,m le 1.5 imes 10^5)
- (1le a_i le n)
- (0le ple n)
- (p>0) 时，(1le x le n)。
- (p=0) 时，(x=-1) 或 (1)。
题解
http://jklover.hs-blog.cf/2020/05/29/Loj-3094-删数/
线段树.
考虑对于给定的数列,如何计算最小修改次数.
若当前数列长度为 (x) ,则操作一次后会转移到 (x-cnt(x)) ,其中 (cnt(x)) 表示数列中有几个 (x) .
想让数列长度变为 (0) ,这相当于每个长度都要被删去一次,而 (x) 可以让 ([x-cnt(x)+1,x]) 这些长度都被删一次.
于是 ([1,n]) 内每种数字 (x) 可以覆盖一段区间 ([x-cnt(x)+1,x]) ,询问 ([1,n]) 内有几个位置没被覆盖即为答案.
可以用线段树维护每个位置被覆盖的次数,询问最小值以及最小值出现的次数即可得到答案.
现在考虑如何支持修改,单点修改可以直接删掉原来的线段,加上新的线段.
整体 (+1,-1) 可以直接对全局维护偏移量标记 (Delta) ,询问 ([1,n]) 时改为询问 ([1-Delta,n-Delta]) 即可.
注意整体 (+1,-1) 时,可能会导致 (n) 与 (n+1) 交换,此时需要修改它们的贡献.
时间复杂度 (O(nlog n)) .
CO int N=4.5e5+10;
int a[N],cnt[N];
struct node {int min,cnt;} tree[4*N];
int tag[4*N];
IN node operator+(CO node&a,CO node&b){
node c={min(a.min,b.min)};
if(a.min==c.min) c.cnt+=a.cnt;
if(b.min==c.min) c.cnt+=b.cnt;
return c;
}
#define lc (x<<1)
#define rc (x<<1|1)
#define mid ((l+r)>>1)
void build(int x,int l,int r){
tree[x]={0,r-l+1},tag[x]=0;
if(l==r) return;
build(lc,l,mid),build(rc,mid+1,r);
}
IN void put_tag(int x,int v){
tree[x].min+=v,tag[x]+=v;
}
IN void push_down(int x){
if(tag[x]){
put_tag(lc,tag[x]),put_tag(rc,tag[x]);
tag[x]=0;
}
}
void modify(int x,int l,int r,int ql,int qr,int v){
if(qr<l or ql>r) return;
if(ql<=l and r<=qr) return put_tag(x,v);
push_down(x);
if(ql<=mid) modify(lc,l,mid,ql,qr,v);
if(qr>mid) modify(rc,mid+1,r,ql,qr,v);
tree[x]=tree[lc]+tree[rc];
}
node query(int x,int l,int r,int ql,int qr){
if(ql<=l and r<=qr) return tree[x];
push_down(x);
if(qr<=mid) return query(lc,l,mid,ql,qr);
if(ql>mid) return query(rc,mid+1,r,ql,qr);
return query(lc,l,mid,ql,qr)+query(rc,mid+1,r,ql,qr);
}
int main(){
int n=read<int>(),m=read<int>(),mx=n+m+m;
build(1,1,mx);
for(int i=1;i<=n;++i){
a[i]=read<int>()+m;
++cnt[a[i]];
modify(1,1,mx,a[i]-cnt[a[i]]+1,a[i]-cnt[a[i]]+1,1);
}
int delta=0;
function<int(int)> calc=[&](int x){
return x+m-delta;
};
for(int i=1;i<=m;++i){
int p=read<int>();
if(!p){
int x=read<int>();
if(x==1){
if(cnt[calc(n)])
modify(1,1,mx,calc(n)-cnt[calc(n)]+1,calc(n),-1);
}
else{
if(cnt[calc(n+1)])
modify(1,1,mx,calc(n+1)-cnt[calc(n+1)]+1,calc(n+1),1);
}
delta+=x;
}
else{
int x=read<int>();
if(a[p]<=calc(n))
modify(1,1,mx,a[p]-cnt[a[p]]+1,a[p]-cnt[a[p]]+1,-1);
--cnt[a[p]];
a[p]=x+m-delta;
++cnt[a[p]];
if(a[p]<=calc(n))
modify(1,1,mx,a[p]-cnt[a[p]]+1,a[p]-cnt[a[p]]+1,1);
}
node ans=query(1,1,mx,calc(1),calc(n));
printf("%d
",ans.min?0:ans.cnt);
}
return 0;
}