Description
(n) 个小时，每个小时要么打隔膜要么睡觉，第 (i) 个小时，睡觉的愉悦值为 (s_i) ，打隔膜的愉悦值为 (e_i) ，对于任意一段连续的 (k) 小时，必须至少有 (m_s) 时间在睡觉， (m_e) 时间在打隔膜。求最大愉悦值。
Solution
如果令所有的时间都打隔膜，则在 (i) 时刻睡觉的收益就是 (s_i-e_i) 。令第 (i) 时刻是否睡觉的状态为 (x_i) ，则
[t1le x_i+x_{i+1}+x_{i+2}+cdots +x_{i+k-1}le k-t2
]
要最大化
[sum_{i=1}^n x_i imes (s_i-e_i)
]
添加新变量 (y,zin [0,+infty]) 。有方程组
[egin{cases}
x_1+x_2+cdots +x_k=m_s+y_1\
x_1+x_2+cdots +x_k=k-m_e-z_1\
x_2+x_3+cdots +x_{k+1}=m_s+y_2\
x_2+x_3+cdots +x_{k+1}=k-m_e-z_2\
cdots \
x_{n-k+1}+x_{n-k+2}+cdots +x_n=m_s+y_{n-k+1}\
x_{n-k+1}+x_{n-k+2}+cdots +x_n=k-m_e-z_{n-k+1}\
0=0
end{cases}
]
差分一下
[egin{cases}
x_1+x_2+cdots +x_k=m_s+y_1\
y_1+z_1=(k-m_e-m_s)\
x_{k+1}+(k-m_e-m_s)=x_1+y_2+z_1\
y_2+z_2=(k-m_e-m_s)\
cdots\
y_{n-k+1}+z_{n-k+1}=(k-m_e-m_s)\
k-m_e=x_{n-k+1}+x_{n-k+2}+cdots +x_n+z_{n-k+1}
end{cases}
]
每个变量在等式左右各出现一次，故等式看成点，左边看作流出，右边看作流入。对于每个 (x) 变量，流出往流出连边，流量为 (1) 费用为 (s_i-e_i) 。对于 (y) 和 (z) ，流量为 (+infty) ，费用 (0) 。对于常数，流出连向 (T) ，流入从 (S) 连，流量为常数的值，费用为 (0) 。
最后答案为最大费用最大流。