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    Description

    (n) 个小时,每个小时要么打隔膜要么睡觉,第 (i) 个小时,睡觉的愉悦值为 (s_i) ,打隔膜的愉悦值为 (e_i) ,对于任意一段连续的 (k) 小时,必须至少有 (m_s) 时间在睡觉, (m_e) 时间在打隔膜。求最大愉悦值。

    Solution

    如果令所有的时间都打隔膜,则在 (i) 时刻睡觉的收益就是 (s_i-e_i) 。令第 (i) 时刻是否睡觉的状态为 (x_i) ,则

    [t1le x_i+x_{i+1}+x_{i+2}+cdots +x_{i+k-1}le k-t2 ]

    要最大化

    [sum_{i=1}^n x_i imes (s_i-e_i) ]

    添加新变量 (y,zin [0,+infty]) 。有方程组

    [egin{cases} x_1+x_2+cdots +x_k=m_s+y_1\ x_1+x_2+cdots +x_k=k-m_e-z_1\ x_2+x_3+cdots +x_{k+1}=m_s+y_2\ x_2+x_3+cdots +x_{k+1}=k-m_e-z_2\ cdots \ x_{n-k+1}+x_{n-k+2}+cdots +x_n=m_s+y_{n-k+1}\ x_{n-k+1}+x_{n-k+2}+cdots +x_n=k-m_e-z_{n-k+1}\ 0=0 end{cases} ]

    差分一下

    [egin{cases} x_1+x_2+cdots +x_k=m_s+y_1\ y_1+z_1=(k-m_e-m_s)\ x_{k+1}+(k-m_e-m_s)=x_1+y_2+z_1\ y_2+z_2=(k-m_e-m_s)\ cdots\ y_{n-k+1}+z_{n-k+1}=(k-m_e-m_s)\ k-m_e=x_{n-k+1}+x_{n-k+2}+cdots +x_n+z_{n-k+1} end{cases} ]

    每个变量在等式左右各出现一次,故等式看成点,左边看作流出,右边看作流入。对于每个 (x) 变量,流出往流出连边,流量为 (1) 费用为 (s_i-e_i) 。对于 (y)(z) ,流量为 (+infty) ,费用 (0) 。对于常数,流出连向 (T) ,流入从 (S) 连,流量为常数的值,费用为 (0)

    最后答案为最大费用最大流。

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