字母最小生成树

题意大概是这样的：用一个7位的string代表一个编号，两个编号之间的distance代表这两个编号之间不同字母的个数。一个编号只能由另一个编号“衍生”出来，代价是这两个编号之间相应的distance，现在要找出一个“衍生”方案，使得总代价最小，也就是distance之和最小。

例如有如下4个编号：

aaaaaaa

baaaaaa

abaaaaa

aabaaaa

显然的，第二，第三和第四编号分别从第一编号衍生出来的代价最小，因为第二，第三和第四编号分别与第一编号只有一个字母是不同的，相应的distance都是1，加起来是3。也就是最小代价为3。

问题可以转化为最小代价生成树的问题。因为每两个结点之间都有路径，所以是完全图。 

此题的关键是将问题转化为最小生成树的问题。每一个编号为图的一个顶点，顶点与顶点间的编号差即为这条边的权值，题目所要的就是我们求出最小生成树来。这里我用prim算法来求最小生成树。

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#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

const int inf=10;          //无穷大（两点间边权最大为7）
const int large=2001;

int n;  //truck types
char str[large][8];
int dist[large][large]={0};

/*Compute Weight*/

int weight(int i,int j)     //返回两个字符串中不同字符的个数（返回边权）
{
    int w=0;
    for(int k=0;k<7;k++)
        if(str[i][k]!=str[j][k])
            w++;
    return w;
}

/*Prim Algorithm*/

int prim(void)
{
    int s=1;       //源点（最初的源点为1）
    int m=1;       //记录最小生成树的顶点数
    bool u[large]; //记录某顶点是否属于最小生成树
    int prim_w=0;  //最小生成树的总权值
    int min_w;     //每个新源点到其它点的最短路
    int flag_point;
    int low_dis[large];  //各个源点到其它点的最短路

    memset(low_dis,inf,sizeof(low_dis));
    memset(u,false,sizeof(u));
    u[s]=true;

    while(1)
    {
        if(m==n)      //当最小生成树的顶点数等于原图的顶点数时，说明最小生成树查找完毕
            break;

        min_w=inf;
        for(int j=2;j<=n;j++)
        {
            if(!u[j] && low_dis[j]>dist[s][j])
                low_dis[j] = dist[s][j];
            if(!u[j] && min_w>low_dis[j])
            {
                min_w=low_dis[j];
                flag_point=j;      //记录最小权边中不属于最小生成树的点j
            }
        }
        s=flag_point;       //顶点j与旧源点合并
        u[s]=true;          //j点并入最小生成树（相当于从图上删除j点，让新源点接替所有j点具备的特征）
        prim_w+=min_w;      //当前最小生成树的总权值
        m++;                
    }
    return prim_w;
}

int main(void)
{
    int i,j;

    while(cin>>n && n)
    {
        /*Input*/
        
        for(i=1;i<=n;i++)
            cin>>str[i];

        /*Structure Maps*/

        for(i=1;i<=n-1;i++)
            for(j=i+1;j<=n;j++)
                dist[i][j]=dist[j][i]=weight(i,j);

        /*Prim Algorithm & Output*/

        cout<<"The highest possible quality is 1/"<<prim()<<'.'<<endl;

    }
    return 0;
}