Kattis：Boxes

Kattis：Boxes

题目链接：https://open.kattis.com/problems/boxes

题目大意：给出$N$个盒子，第$i$个盒子在第$a_i$个盒子内.现在有$Q$个询问，每个询问以$M$开始，问$M$个盒子中共有几个不同的盒子（包含自身）.

LCA

在线LCA算法：

树上两点$u$，$v$的最近公共祖先$A$的深度一定为$u$与$v$的简单路径中各点深度的最小值.

我们可以用$ver[2 imes N]$数组按顺序记录dfs先后进出的结点编号（因为记录进出的结点，故有$2 imes N - 1$个元素），以将树形结构拆分为线性结构；用$dep[2 imes N]$数组记录对应结点的深度；用$f[i]$记录第一次进入第$i$个结点时在$ver[2 imes N]$中的下标.

例如下图中，$ver[\,]={1,2,4,2,1,3,1}$，$dep[\,]={0,1,2,1,0,1,0}$，$f[\,]={-1,0,1,5,2}$（用$-1$表示结点$0$不存在）

于是，求$u$与$v$的简单路径中各点深度的最小值，即求$ver[\,f[u]\,]$到$ver[\,f[u]\,]$中各结点深度的最小值（这其中可能会包含$u$的子结点，但其深度必然大于$u$的深度）.

而维护$ver[\,f[u]\,]$到$ver[\,f[u]\,]$中各结点深度的最小值，即维护一个线性区间的最小值，采用rmq算法，预处理复杂度为$O(nlgn)$，查询复杂度为$O(1)$.

---

设$A$为$x$与$y$的最近公共祖先，即$A=LCA(x,y)$.

若$A=x$，则$y$在$x$内；

若$A=y$，则$x$在$y$内；

若$A eq x$且$A eq y$，则$x$和$y$互不包含.

两两枚举最近公共祖先，舍去被包含的结点并用set去重，就可以解决这道题了.

//注意：

//可能不止有一个盒子不被其他盒子包含（因为这个问题卡了三天QAQ）

//可以添加一个虚结点下标为$0$，从而构成一颗树.

整道题的时间复杂度为$O(nlgn+q imes m^2)$

代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#define pb(x) push_back(x)
#define N 200005
#define M 25
#define P 20
using namespace std;
vector<int>a[N];
set<int>s;
int n,q,m,tmp,ans,qm[M];
int k,ver[2*N],dep[2*N],f[N],num[N],dp[2*N][P];
int dfs(int x,int d){
    num[x]=1;
    f[x]=k;
    dep[k]=d;
    ver[k++]=x;
    for(int i=0;i<(int)a[x].size();++i){
        num[x]+=dfs(a[x][i],d+1);
        dep[k]=d;
        ver[k++]=x;
    }
    return num[x];
}
void rmq(int k){
    for(int i=0;i<k;++i)
        dp[i][0]=i;
    for(int j=1;(1<<j)<=k;++j)
    for(int i=0;i+(1<<j)<=k;++i){
        int x=dp[i][j-1],y=dp[i+(1<<(j-1))][j-1];
        dp[i][j]=dep[x]<dep[y]?x:y;
    }
}
int LCA(int u,int v){
    if(u>v)swap(u,v);
    int len=log(v-u+1.0)/log(2.0);
    int x=dp[u][len],y=dp[v+1-(1<<len)][len];
    return ver[dep[x]<dep[y]?x:y];
}
int main(void){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        cin>>tmp;
        a[tmp].pb(i);
    }
    dfs(0,0);
    rmq(k);
    cin>>q;
    while(q--){
        s.clear();
        cin>>m;
        for(int i=0;i<m;++i)
            cin>>qm[i];
        for(int i=0;i<m;++i){
            int tot=qm[i];
            for(int j=0;j<m;++j){
                tmp=LCA(f[tot],f[qm[j]]);
                if(tmp==qm[j])tot=tmp;
            }
            s.insert(tot);
        }
        ans=0;
        for(set<int>::iterator it=s.begin();it!=s.end();++it)
            ans+=num[*it];
        cout<<ans<<"
";
    }
}