Bellman-Ford

适用条件&范围：

单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);

有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);

差分约束系统;

Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

首先介绍一下松弛计算。如下图：

 

松弛计算之前，点B的值是8，但是点A的值加上边上的权重2，得到5，比点B的值（8）小，所以，点B的值减小为5。这个过程的意义是，找到了一条通向B点更短的路线，且该路线是先经过点A，然后通过权重为2的边，到达点B。
当然，如果出现一下情况

 

则不会修改点B的值，因为3＋4>6。

Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)
则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
 
之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。
考虑如下的图：
 

经过第一次遍历后，点B的值变为5，点C的值变为8，这时，注意权重为－10的边，这条边的存在，导致点A的值变为－2。（8＋ －10＝－2）
 
 

第二次遍历后，点B的值变为3，点C变为6，点A变为－4。正是因为有一条负边在回路中，导致每次遍历后，各个点的值不断变小。
 
在回过来看一下bellman－ford算法的第三部分，遍历所有边，检查是否存在d（v） > d (u) + w(u,v)。因为第二部分循环的次数是定长的，所以如果存在无法收敛的情况，则肯定能够在第三部分中检查出来。比如
 

此时，点A的值为－2，点B的值为5，边AB的权重为5，5 > -2 + 5. 检查出来这条边没有收敛。

例题

http://cogs.pro/cogs/problem/problem.php?pid=415

/****************************************************************************************************

                                        最短路—Bellman-Ford算法 
                        将边权替换为概率，相加改为相乘，最短距离改为最大概率
                        

********************************************************************************************************/
#include<cstdio>
#define maxint 99999999
#define maxn 10005
#define eps 1e-8
struct Edge{
    int u,v;// 起点，重点
    double weight;// 边的权值(通过概率) 
};
Edge edge[maxn*3];// 保存边
double  dist[maxn];// 结点到源点最小距离(最大概率) 
int nodenum, edgenum, source=1;    // 结点数，边数，源点
void init(){// 初始化图
    scanf("%d%d",&nodenum,&edgenum);// 输入结点数，边数
    for(int i=1;i<=nodenum;i++)dist[i]=0;//初始化刚开始距离为最大(概率为最小)
    dist[source]=1;//到源点最小距离为0(概率为1)
    for(int i=1;i<=edgenum;i++){
        scanf("%d%d%lf",&edge[i].u,&edge[i].v,&edge[i].weight);edge[i].weight/=100;
        if(edge[i].u==source)//注意这里设置初始情况
            dist[edge[i].v]=edge[i].weight;
        if(edge[i].v==source)
            dist[edge[i].u]=edge[i].weight;
    }
}
void relax(int u, int v, double weight){// 松弛计算
    if(dist[v]<dist[u]*weight-eps)dist[v]=dist[u]*weight;
}
bool Bellman_Ford(){
    for(int i=1;i<nodenum;i++)
        for(int j=1;j<=edgenum;j++)
            relax(edge[j].u,edge[j].v,edge[j].weight),relax(edge[j].v,edge[j].u,edge[j].weight);
    bool d=1;//判断是否有负环路
    for(int i=1;i<=edgenum;i++)
        if(dist[edge[i].v]<dist[edge[i].u]*edge[i].weight-eps||dist[edge[i].u]<dist[edge[i].v]*edge[i].weight-eps){
            d=0;break;
        }
    return d;
}
int Perseverance(){
    freopen("toura.in","r",stdin);
    freopen("toura.out","w",stdout);
    init();
    if(Bellman_Ford())
        printf("%.6lf",dist[nodenum]*100);
    return 0;
}
int comeon=Perseverance();
int main(){
    return 0;
}