BZOJ1597: [Usaco2008 Mar]土地购买——斜率优化

题目大意：

将$n$个长方形分成若干部分，每一部分的花费为部分中长方形的$max_长*max_宽$(不是$max_{长*宽}$)，求最小花费

思路：

首先，可以被其他长方形包含的长方形可以删去

然后我们按长方形的长度从小到大排序(排序后的长方形的宽度一定是从大到小)

设$f(i)$表示前i个长方形的最小花费，长方形的长和宽分别为$x(i),y(i)$，则有方程

$Large f(i)=min(f(j)+x(i)*y(j+1))$

若对于某个$i$有$j$比$k$优,则

$f(j)+x(i)*y(j+1)le f(k)+x(i)*y(k+1)$

化简得$frac{f(j)-f(k)}{y(k+1)-y(j+1)}le x(i)$

维护下凸壳即可

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 50005
#define LL long long
struct Node{
    int x,y;
    bool operator < (const Node& a)const{
        return x!=a.x?x<a.x:y<a.y;
    }
}a[maxn];
int n,si,que[maxn],s,t=1;
LL f[maxn];
LL calc(int i,int j){
    return (f[i]-f[j]-1)/(a[j+1].y-a[i+1].y)+1;
}
void insert(int x){
    while(s<t-1&&calc(x,que[t-1])<=calc(que[t-1],que[t-2]))t--;
    que[t++]=x;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
    }
    sort(a+1,a+n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(si&&a[si].y<=a[i].y)si--;
        a[++si]=a[i];
    }n=si;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(s<t-1&&calc(que[s+1],que[s])<=a[i].x)s++;
        int w=que[s];
        f[i]=f[w]+1ll*a[i].x*a[w+1].y;
        insert(i);
    }
    printf("%lld",f[n]);
    return 0;
}