1. 蚁群算法简介
蚁群算法（Ant Clony Optimization， ACO）是一种群智能算法，它是由一群无智能或有轻微智能的个体（Agent）通过相互协作而表现出智能行为，从而为求解复杂问题提供了一个新的可能性。蚁群算法最早是由意大利学者Colorni A., Dorigo M. 等于1991年提出。经过20多年的发展，蚁群算法在理论以及应用研究上已经得到巨大的进步。
蚁群算法是一种仿生学算法，是由自然界中蚂蚁觅食的行为而启发的。在自然界中，蚂蚁觅食过程中，蚁群总能够按照寻找到一条从蚁巢和食物源的最优路径。图（1）显示了这样一个觅食的过程。
图（1）蚂蚁觅食
在图1（a）中，有一群蚂蚁，假如A是蚁巢，E是食物源（反之亦然）。这群蚂蚁将沿着蚁巢和食物源之间的直线路径行驶。假如在A和E之间突然出现了一个障碍物（图1（b）），那么，在B点（或D点）的蚂蚁将要做出决策，到底是向左行驶还是向右行驶？由于一开始路上没有前面蚂蚁留下的信息素（pheromone），蚂蚁朝着两个方向行进的概率是相等的。但是当有蚂蚁走过时，它将会在它行进的路上释放出信息素，并且这种信息素会议一定的速率散发掉。信息素是蚂蚁之间交流的工具之一。它后面的蚂蚁通过路上信息素的浓度，做出决策，往左还是往右。很明显，沿着短边的的路径上信息素将会越来越浓（图1（c）），从而吸引了越来越多的蚂蚁沿着这条路径行驶。
2. TSP问题描述
蚁群算法最早用来求解TSP问题，并且表现出了很大的优越性，因为它分布式特性，鲁棒性强并且容易与其它算法结合，但是同时也存在这收敛速度慢，容易陷入局部最优（local optimal）等缺点。
TSP问题（Travel Salesperson Problem，即旅行商问题或者称为中国邮递员问题），是一种，是一种NP-hard问题，此类问题用一般的算法是很大得到最优解的，所以一般需要借助一些启发式算法求解，例如遗传算法（GA），蚁群算法（ACO），微粒群算法（PSO）等等。
TSP问题可以分为两类，一类是对称TSP问题（Symmetric TSP），另一类是非对称问题（Asymmetric TSP）。所有的TSP问题都可以用一个图（Graph）来描述：
令
$V=\{c_1,c_2,\ldots,c_i,\ldots,c_n\},i=1,2,\ldots,n$是所有城市的集合. $c_i$表示第i个城市， $n$为城市的数目；
$E=\{(r,s):r,s \in V\}$是所有城市之间连接的集合；
$C=\{c_{rs}:r,s \in V\}$是所有城市之间连接的成本度量（一般为城市之间的距离）；
如果$c_{rs} = c_{sr}$, 那么该TSP问题为对称的，否则为非对称的。
一个TSP问题可以表达为：
求解遍历图$G=(V,E,C)$，所有的节点一次并且回到起始节点，使得连接这些节点的路径成本最低。
3. 蚁群算法原理
假如蚁群中所有蚂蚁的数量为m，所有城市之间的信息素用矩阵pheromone表示，最短路径为bestLength，最佳路径为bestTour。每只蚂蚁都有自己的内存，内存中用一个禁忌表（Tabu）来存储该蚂蚁已经访问过的城市，表示其在以后的搜索中将不能访问这些城市；还有用另外一个允许访问的城市表（Allowed）来存储它还可以访问的城市；另外还用一个矩阵（Delta）来存储它在一个循环（或者迭代）中给所经过的路径释放的信息素；还有另外一些数据，例如一些控制参数$(\alpha，\beta，\rho，Q)$，该蚂蚁行走玩全程的总成本或距离（tourLength），等等。假定算法总共运行MAX_GEN次，运行时间为t。
蚁群算法计算过程如下：
（1）初始化
设t=0，初始化bestLength为一个非常大的数（正无穷），bestTour为空。初始化所有的蚂蚁的Delt矩阵所有元素初始化为0，Tabu表清空，Allowed表中加入所有的城市节点。随机选择它们的起始位置（也可以人工指定）。在Tabu中加入起始节点，Allowed中去掉该起始节点。
（2）为每只蚂蚁选择下一个节点。
为每只蚂蚁选择下一个节点，该节点只能从Allowed中以某种概率（公式1）搜索到，每搜到一个，就将该节点加入到Tabu中，并且从Allowed中删除该节点。该过程重复n-1次，直到所有的城市都遍历过一次。遍历完所有节点后，将起始节点加入到Tabu中。此时Tabu表元素数量为n+1（n为城市数量），Allowed元素数量为0。接下来按照（公式2）计算每个蚂蚁的Delta矩阵值。最后计算最佳路径，比较每个蚂蚁的路径成本，然后和bestLength比较，若它的路径成本比bestLength小，则将该值赋予bestLength，并且将其Tabu赋予BestTour。
（公式1）
（公式2）
其中$p_{ij}^{(t)}$表示选择城市j的概率，$k$表示第$k$个蚂蚁，$\tau_{ij}^{(t)}$表示城市$i,j$在第$t$时刻的信息素浓度，$\eta_{ij}$表示从城市i到城市j的可见度，
$\eta_{ij} = \frac 1 {d_{ij}}$，$d_{ij}$表示城市$i,j$之间的成本（或距离）。由此可见$d_{ij}$越小，$\eta_{ij}$越大，也就是从城市$i$到$j$的可见性就越大。$\Delta \tau_{ij}^k$表示蚂蚁$k$在城市$i$与$j$之间留下的信息素。
$L_k$表示蚂蚁$k$经过一个循环（或迭代）锁经过路径的总成本（或距离），即tourLength.$\alpha, \beta, Q$ 均为控制参数。
（3）更新信息素矩阵
令$t=t+n$t，按照（公式3）更新信息素矩阵phermone。
\[ \tau_{ij}(t+n) = \rho \cdot \tau_{ij}(t) + \Delta \tau_{ij} \]
（公式3）
$\tau_{ij}(t+n)$为$t+n$时刻城市$i$与$j$之间的信息素浓度。$\rho$为控制参数，$Delta_ij$为城市$i$与$j$之间信息素经过一个迭代后的增量。并且有
\[ \Delta \tau_{ij} = \sum_{k=1}^m \Delta \tau_{ij}^k\]
（公式4）
其中$\Delta \tau_{ij}^k$由公式计算得到。
（4）检查终止条件
如果达到最大代数MAX_GEN，算法终止，转到第（5）步；否则，重新初始化所有的蚂蚁的Delt矩阵所有元素初始化为0，Tabu表清空，Allowed表中加入所有的城市节点。随机选择它们的起始位置（也可以人工指定）。在Tabu中加入起始节点，Allowed中去掉该起始节点，重复执行（2），（3）,(4)步。
（5）输出最优值
4. Java实现
在该java实现中我们选择使用tsplib上的数据att48，这是一个对称tsp问题，城市规模为48，其最优值为10628.其距离计算方法如图（2）所示：
图（2）att48距离计算方法
实现中，使用了两个java类，一个Ant类，一个ACO类。
具体实现代码如下（此代码借鉴了蚁群优化算法的JAVA实现）：
Ant类：
1: import java.util.Random;
2: import java.util.Vector;
3:
4: /**
5: *
6: * @author BIAO YU
7: *
8: */
9: public class Ant implements Cloneable {
10:
11: private Vector<Integer> tabu; //禁忌表
12: private Vector<Integer> allowedCities; //允许搜索的城市
13: private float[][] delta; //信息数变化矩阵
14: private int[][] distance; //距离矩阵
15:
16: private float alpha;
17: private float beta;
18:
19: private int tourLength; //路径长度
20: private int cityNum; //城市数量
21:
22: private int firstCity; //起始城市
23: private int currentCity; //当前城市
24:
25: public Ant(){
26: cityNum = 30;
27: tourLength = 0;
28:
29: }
30:
31: /**
32: * Constructor of Ant
33: * @param num 蚂蚁数量
34: */
35: public Ant(int num){
36: cityNum = num;
37: tourLength = 0;
38:
39: }
40:
41: /**
42: * 初始化蚂蚁，随机选择起始位置
43: * @param distance 距离矩阵
44: * @param a alpha
45: * @param b beta
46: */
47: public void init(int[][] distance, float a, float b){
48: alpha = a;
49: beta = b;
50: allowedCities = new Vector<Integer>();
51: tabu = new Vector<Integer>();
52: this.distance = distance;
53: delta = new float[cityNum][cityNum];
54: for (int i = 0; i < cityNum; i++) {
55: Integer integer = new Integer(i);
56: allowedCities.add(integer);
57: for (int j = 0; j < cityNum; j++) {
58: delta[i][j] = 0.f;
59: }
60: }
61:
62: Random random = new Random(System.currentTimeMillis());
63: firstCity = random.nextInt(cityNum);
64: for (Integer i:allowedCities) {
65: if (i.intValue() == firstCity) {
66: allowedCities.remove(i);
67: break;
68: }
69: }
70:
71: tabu.add(Integer.valueOf(firstCity));
72: currentCity = firstCity;
73: }
74:
75: /**
76: * 选择下一个城市
77: * @param pheromone 信息素矩阵
78: */
79: public void selectNextCity(float[][] pheromone){
80: float[] p = new float[cityNum];
81: float sum = 0.0f;
82: //计算分母部分
83: for (Integer i:allowedCities) {
84: sum += Math.pow(pheromone[currentCity][i.intValue()], alpha)*Math.pow(1.0/distance[currentCity][i.intValue()], beta);
85: }
86: //计算概率矩阵
87: for (int i = 0; i < cityNum; i++) {
88: boolean flag = false;
89: for (Integer j:allowedCities) {
90:
91: if (i == j.intValue()) {
92: p[i] = (float) (Math.pow(pheromone[currentCity][i], alpha)*Math.pow(1.0/distance[currentCity][i], beta))/sum;
93: flag = true;
94: break;
95: }
96: }
97:
98: if (flag == false) {
99: p[i] = 0.f;
100: }
101: }
102:
103: //轮盘赌选择下一个城市
104: Random random = new Random(System.currentTimeMillis());
105: float sleectP = random.nextFloat();
106: int selectCity = 0;
107: float sum1 = 0.f;
108: for (int i = 0; i < cityNum; i++) {
109: sum1 += p[i];
110: if (sum1 >= sleectP) {
111: selectCity = i;
112: break;
113: }
114: }
115:
116: //从允许选择的城市中去除select city
117: for (Integer i:allowedCities) {
118: if (i.intValue() == selectCity) {
119: allowedCities.remove(i);
120: break;
121: }
122: }
123: //在禁忌表中添加select city
124: tabu.add(Integer.valueOf(selectCity));
125: //将当前城市改为选择的城市
126: currentCity = selectCity;
127:
128: }
129:
130: /**
131: * 计算路径长度
132: * @return 路径长度
133: */
134: private int calculateTourLength(){
135: int len = 0;
136: for (int i = 0; i < cityNum; i++) {
137: len += distance[this.tabu.get(i).intValue()][this.tabu.get(i+1).intValue()];
138: }
139: return len;
140: }
141:
142:
143:
144: public Vector<Integer> getAllowedCities() {
145: return allowedCities;
146: }
147:
148: public void setAllowedCities(Vector<Integer> allowedCities) {
149: this.allowedCities = allowedCities;
150: }
151:
152: public int getTourLength() {
153: tourLength = calculateTourLength();
154: return tourLength;
155: }
156: public void setTourLength(int tourLength) {
157: this.tourLength = tourLength;
158: }
159: public int getCityNum() {
160: return cityNum;
161: }
162: public void setCityNum(int cityNum) {
163: this.cityNum = cityNum;
164: }
165:
166: public Vector<Integer> getTabu() {
167: return tabu;
168: }
169:
170: public void setTabu(Vector<Integer> tabu) {
171: this.tabu = tabu;
172: }
173:
174: public float[][] getDelta() {
175: return delta;
176: }
177:
178: public void setDelta(float[][] delta) {
179: this.delta = delta;
180: }
181:
182: public int getFirstCity() {
183: return firstCity;
184: }
185:
186: public void setFirstCity(int firstCity) {
187: this.firstCity = firstCity;
188: }
189:
190: }
191:
ACO类：
1: import java.io.BufferedReader;
2: import java.io.FileInputStream;
3: import java.io.IOException;
4: import java.io.InputStreamReader;
5:
6: /**
7: *
8: * @author BIAO YU
9: *
10: *
11: */
12: public class ACO {
13:
14: private Ant[] ants; //蚂蚁
15: private int antNum; //蚂蚁数量
16: private int cityNum; //城市数量
17: private int MAX_GEN; //运行代数
18: private float[][] pheromone; //信息素矩阵
19: private int[][] distance; //距离矩阵
20: private int bestLength; //最佳长度
21: private int[] bestTour; //最佳路径
22:
23: //三个参数
24: private float alpha;
25: private float beta;
26: private float rho;
27:
28:
29: public ACO(){
30:
31: }
32: /** constructor of ACO
33: * @param n 城市数量
34: * @param m 蚂蚁数量
35: * @param g 运行代数
36: * @param a alpha
37: * @param b beta
38: * @param r rho
39: *
40: **/
41: public ACO(int n, int m, int g, float a, float b, float r) {
42: cityNum = n;
43: antNum = m;
44: ants = new Ant[antNum];
45: MAX_GEN = g;
46: alpha = a;
47: beta = b;
48: rho = r;
49:
50: }
51:
52: @SuppressWarnings("resource")
53: /**
54: * 初始化ACO算法类
55: * @param filename 数据文件名，该文件存储所有城市节点坐标数据
56: * @throws IOException
57: */
58: private void init(String filename) throws IOException{
59: //读取数据
60: int[] x;
61: int[] y;
62: String strbuff;
63: BufferedReader data = new BufferedReader(new InputStreamReader(new FileInputStream(filename)));
64:
65: distance = new int[cityNum][cityNum];
66: x = new int[cityNum];
67: y = new int[cityNum];
68: for (int i = 0; i < cityNum; i++) {
69: strbuff = data.readLine();
70: String[] strcol = strbuff.split("");
71: x[i] = Integer.valueOf(strcol[1]);
72: y[i] = Integer.valueOf(strcol[2]);
73: }
74: //计算距离矩阵 ，针对具体问题，距离计算方法也不一样，此处用的是att48作为案例，它有48个城市，距离计算方法为伪欧氏距离，最优值为10628
75: for (int i = 0; i < cityNum - 1; i++) {
76: distance[i][i] = 0; //对角线为0
77: for (int j = i + 1; j < cityNum; j++) {
78: double rij = Math.sqrt(((x[i] - x[j]) * (x[i] - x[j])+ (y[i] - y[j]) * (y[i] - y[j]))/10.0);
79: int tij = (int) Math.round(rij);
80: if (tij < rij) {
81: distance[i][j] = tij + 1;
82: distance[j][i] = distance[i][j];
83: }else {
84: distance[i][j] = tij;
85: distance[j][i] = distance[i][j];
86: }
87: }
88: }
89: distance[cityNum - 1][cityNum - 1] = 0;
90:
91: //初始化信息素矩阵
92: pheromone=new float[cityNum][cityNum];
93: for(int i=0;i<cityNum;i++)
94: {
95: for(int j=0;j<cityNum;j++){
96: pheromone[i][j]=0.1f; //初始化为0.1
97: }
98: }
99: bestLength=Integer.MAX_VALUE;
100: bestTour=new int[cityNum+1];
101: //随机放置蚂蚁
102: for(int i=0;i<antNum;i++){
103: ants[i]=new Ant(cityNum);
104: ants[i].init(distance, alpha, beta);
105: }
106: }
107:
108: public void solve(){
109:
110: for (int g = 0; g < MAX_GEN; g++) {
111: for (int i = 0; i < antNum; i++) {
112: for (int j = 1; j < cityNum; j++) {
113: ants[i].selectNextCity(pheromone);
114: }
115: ants[i].getTabu().add(ants[i].getFirstCity());
116: if (ants[i].getTourLength() < bestLength) {
117: bestLength = ants[i].getTourLength();
118: for (int k = 0; k < cityNum + 1; k++) {
119: bestTour[k] = ants[i].getTabu().get(k).intValue();
120: }
121: }
122: for (int j = 0; j < cityNum; j++) {
123: ants[i].getDelta()[ants[i].getTabu().get(j).intValue()][ants[i].getTabu().get(j+1).intValue()] = (float) (1./ants[i].getTourLength());
124: ants[i].getDelta()[ants[i].getTabu().get(j+1).intValue()][ants[i].getTabu().get(j).intValue()] = (float) (1./ants[i].getTourLength());
125: }
126: }
127:
128: //更新信息素
129: updatePheromone();
130:
131: //重新初始化蚂蚁
132: for(int i=0;i<antNum;i++){
133:
134: ants[i].init(distance, alpha, beta);
135: }
136: }
137:
138: //打印最佳结果
139: printOptimal();
140: }
141:
142: //更新信息素
143: private void updatePheromone(){
144: //信息素挥发
145: for(int i=0;i<cityNum;i++)
146: for(int j=0;j<cityNum;j++)
147: pheromone[i][j]=pheromone[i][j]*(1-rho);
148: //信息素更新
149: for(int i=0;i<cityNum;i++){
150: for(int j=0;j<cityNum;j++){
151: for (int k = 0; k < antNum; k++) {
152: pheromone[i][j] += ants[k].getDelta()[i][j];
153: }
154: }
155: }
156: }
157:
158: private void printOptimal(){
159: System.out.println("The optimal length is: " + bestLength);
160: System.out.println("The optimal tour is: ");
161: for (int i = 0; i < cityNum + 1; i++) {
162: System.out.println(bestTour[i]);
163: }
164: }
165:
166: public Ant[] getAnts() {
167: return ants;
168: }
169:
170: public void setAnts(Ant[] ants) {
171: this.ants = ants;
172: }
173:
174: public int getAntNum() {
175: return antNum;
176: }
177:
178: public void setAntNum(int m) {
179: this.antNum = m;
180: }
181:
182: public int getCityNum() {
183: return cityNum;
184: }
185:
186: public void setCityNum(int cityNum) {
187: this.cityNum = cityNum;
188: }
189:
190: public int getMAX_GEN() {
191: return MAX_GEN;
192: }
193:
194: public void setMAX_GEN(int mAX_GEN) {
195: MAX_GEN = mAX_GEN;
196: }
197:
198: public float[][] getPheromone() {
199: return pheromone;
200: }
201:
202: public void setPheromone(float[][] pheromone) {
203: this.pheromone = pheromone;
204: }
205:
206: public int[][] getDistance() {
207: return distance;
208: }
209:
210: public void setDistance(int[][] distance) {
211: this.distance = distance;
212: }
213:
214: public int getBestLength() {
215: return bestLength;
216: }
217:
218: public void setBestLength(int bestLength) {
219: this.bestLength = bestLength;
220: }
221:
222: public int[] getBestTour() {
223: return bestTour;
224: }
225:
226: public void setBestTour(int[] bestTour) {
227: this.bestTour = bestTour;
228: }
229:
230: public float getAlpha() {
231: return alpha;
232: }
233:
234: public void setAlpha(float alpha) {
235: this.alpha = alpha;
236: }
237:
238: public float getBeta() {
239: return beta;
240: }
241:
242: public void setBeta(float beta) {
243: this.beta = beta;
244: }
245:
246: public float getRho() {
247: return rho;
248: }
249:
250: public void setRho(float rho) {
251: this.rho = rho;
252: }
253:
254:
255: /**
256: * @param args
257: * @throws IOException
258: */
259: public static void main(String[] args) throws IOException {
260: ACO aco = new ACO(48, 100, 1000, 1.f, 5.f, 0.5f);
261: aco.init("c://data.txt");
262: aco.solve();
263: }
264:
265: }
266:
5. 总结
蚁群算法和其它的启发式算法一样，在很多场合都得到了应用，并且取得了很好的结果。但是同样存在着很多的缺点，例如收敛速度慢，容易陷入局部最优，等等。对于这些问题，还需要进一步的研究和探索，另外蚁群算法的数学机理至今还没有得到科学的解释，这也是当前研究的热点和急需解决的问题之一。注：TSP数据文件以及两篇早期的关于蚁群算法的文章包含在附件中，请点击此处下载附件。