线性代数笔记17——正交向量与正交子空间

正交向量

　　正交是垂直的令一种说法，两个向量正交意味着两个向量的夹角是90°。

　　这可以用直角三角形的三边解释：

　　当x和y正交时，二者的点积是0，反过来也一样。这个结论在n维空间也适用，当Rⁿ空间内的两个向量x和向量y正交时：

 

　　如果x是零向量，x^Ty还是0，也意味着零向量和任意向量正交。

正交子空间

　　正交性还可以推广到子空间，如果说一个子空间V和另一个子空间W正交，那么V中的每一个向量和W中的每一个向量正交。

　　子空间V的正交子空间W也称为V的正交补空间，或V的正交补，记作：

 

正交与垂直

　　以我们比较熟悉的三维空间为例，墙角就可以看作一个典型的空间坐标系，两个墙面和地面两两垂直，每个平面都是三维空间中的二维子空间，这是否意味着子空间的正交呢？并不是这样，两个平面垂直并不等同于两个子空间正交，可以轻易找出两个分属于两个平面但不垂直的向量。实际上，在墙壁与地面的交接处，沿着接缝方向的向量同属于两个平面，但它们不会自己正交与自己，除非是零向量。

　　这样看来，“正交是垂直的令一种说法”并不完全准确，实际上，正交一定垂直，垂直不一定正交。

　　通过平面的例子可以看出，如果两个子空间交于一个非零向量，那么这两个子空间一定不会正交。换句话说，如果两个子空间正交，它们只能交于零向量（单独的点就是零向量，它没有方向，或者说有任意方向，并且模长为0）。

　　在同一个平面中正交的例子有哪些呢？

　　回顾一下子空间的定义，如果V是Rⁿ的线性子空间，则V一定满足三个条件：

1. 包含0向量；
2. x是V中的一个向量，x和一个标量的乘积也在V中，即数乘封闭性；
3. a和b是V中的向量，a+b也在V中，即加法封闭性。

　　由此可见平面内只有三个子空间：原点、过原点的直线、整个平面。这样一来答案就很清晰了：

1. 过原点的直线任何时候都不会和整个平面正交；
2. 原点和所有过原点的直线正交，也和整个平面正交；
3. 如果两个过原点的向量的点积是0，二者正交。

四个基本子空间的正交补

　　先看行空间如何正交与零空间。零空间的意义是Ax = 0时x的解集：

 

　　这样会发现，A中的每个行向量都正交于零空间中的x：

 

　　a⁽ⁱ⁾表示A中的第i行行向量，a⁽ⁱ⁾x = 0当于一个向量垂直于一个超平面。当然，行空间不仅仅包括这几行，还包括它们的线性组合，只要证明满足加法和数乘封闭性即可：

　　列空间相当于A转置后的行空间，道理是一样的，所以列空间也正和零空间正交。

　　A是m×n矩阵，四个基本子空间的正交性可以用下图表示，其中r是矩阵的秩：

　　这相当于把m维空间分割成两个子空间，n维空间分割成另两个子空间，子空间的维数满足图中的要求。如果用正交补的记法，上图可以看作：

　　以三维空间中为例：

 

　　A的行向量是线性相关的，A的秩是1，所以行空间是1维的，是一条直线，与之正交的零空间是垂直于行向量的平面，<1, 3, 5>就是这个平面的法向量，由此可以得到平面方程：

　　 

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 作者：我是8位的

出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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