[BZOJ3684]大朋友和多叉树(拉格朗日反演)

[BZOJ3684]大朋友和多叉树(拉格朗日反演)

题面

给定整数(n)和集合(S(1 otin S)),求有(n)个节点且每个非叶子节点的儿子数量(in S)的无标号有根树的数量。节点的孩子有顺序.(n,|S|leq 10^5)

分析

设这些树的OGF为(T(x)),根据定义,一棵树可以是单个叶子节点，或者是非叶子节点拼上(i)个子树组成的序列。

[T(x)=x+sum_{i in S}T^i(x) ]

构造函数(g(w)=w-sum_{i in S}w^i),容易发现(g(T(x))=x)。用拉格朗日反演求出(T)的(n)次项系数。

(frac{1}{n}[w^{n-1}](frac{w}{g(w)})^n=frac{1}{n}[w^{n-1}]((frac{g(w)}{w})^n)^{-1})

除以(w)相当于系数向左平移,然后多项式快速幂再求逆即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring> 
#define maxn 400000
#define mod 950009857
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll fast_pow(ll x,ll k) {
	ll ans=1;
	while(k) {
		if(k&1) ans=ans*x%mod;
		x=x*x%mod;
		k>>=1;
	}
	return ans;
}
inline ll inv(ll x) {
	return fast_pow(x,mod-2);
}
const ll G=5,invG=inv(G);
int rev[maxn+5];
void NTT(ll *x,int n,int type) {
	for(int i=0; i<n; i++) if(i<rev[i]) swap(x[i],x[rev[i]]);
	for(int len=1; len<n; len*=2) {
		int sz=len*2;
		ll gn1=fast_pow((type==1?G:invG),(mod-1)/sz);
		for(int l=0; l<n; l+=sz) {
			int r=l+len-1;
			ll gnk=1;
			for(int i=l; i<=r; i++) {
				ll tmp=x[i+len];
				x[i+len]=(x[i]-gnk*tmp%mod+mod)%mod;
				x[i]=(x[i]+gnk*tmp%mod)%mod;
				gnk=gnk*gn1%mod;
			}
		}
	}
	if(type==-1) {
		ll invn=inv(n);
		for(int i=0; i<n; i++) x[i]=x[i]*invn%mod;
	}
}
void poly_mul(ll *a,ll *b,ll *c,int n,int m) {
	static ll ta[maxn+5],tb[maxn+5];
	int N=1,L=0;
	while(N<n+m-1) {
		N*=2;
		L++;
	}
	for(int i=0; i<n; i++) ta[i]=a[i];
	for(int i=n; i<N; i++) ta[i]=0;
	for(int i=0; i<m; i++) tb[i]=b[i];
	for(int i=n; i<N; i++) tb[i]=0;
	for(int i=0; i<N; i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
	NTT(ta,N,1);
	NTT(tb,N,1);
	for(int i=0; i<N; i++) c[i]=ta[i]*tb[i]%mod;
	NTT(c,N,-1);
	for(int i=n+m-1; i<N; i++) c[i]=0;
}
void poly_inv(ll *f,ll *g,int n) {
	static ll tmp[maxn+5];
	if(n==1){
		g[0]=inv(f[0]);
		return;
	} 
	poly_inv(f,g,(n+1)/2);
	poly_mul(f,g,tmp,n,n);
	poly_mul(tmp,g,tmp,n,n);
	for(int i=0;i<n;i++) g[i]=(2*g[i]-tmp[i]+mod)%mod;
}
void poly_deriv(ll *f,ll *g,int n){
	for(int i=1;i<n;i++) g[i-1]=f[i]*i%mod;
	g[n-1]=0;
}
void poly_inter(ll *f,ll *g,int n){
	for(int i=n-1;i>=1;i--) g[i]=f[i-1]*inv(i)%mod;
	g[0]=0;
}
void poly_ln(ll *f,ll *g,int n){
	static ll invf[maxn+5];
	poly_deriv(f,g,n);
	poly_inv(f,invf,n);
	poly_mul(invf,g,invf,n,n);
	poly_inter(invf,g,n*2);
	for(int i=n;i<n*2;i++) g[i]=0;
}
void poly_exp(ll *f,ll *g,int n){
	static ll lng[maxn+5];
	if(n==1){
		g[0]=1;
		return;
	}
	poly_exp(f,g,(n+1)/2);
	poly_ln(g,lng,n);
	for(int i=0;i<n;i++) lng[i]=(f[i]-lng[i]+mod)%mod;
	lng[0]++;
	poly_mul(g,lng,g,n,n);
	for(int i=n;i<n*2;i++) g[i]=0;
} 
void poly_pow(ll *f,ll *g,ll k,int n){
	static ll tmpf[maxn+5];
	for(int i=0;i<n;i++) g[i]=f[i];
	poly_ln(g,tmpf,n);
	for(int i=0;i<n;i++) tmpf[i]=tmpf[i]*k%mod;;
	poly_exp(tmpf,g,n); 
}
ll f[maxn+5],g[maxn+5];
int n,m; 
int main(){
	static ll tmp[maxn+5];
	int x;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){//(x/g(x))^n=1/(g(x)/x)^n ������������һ�γ˷� 
		scanf("%d",&x);
		f[x]=mod-1;
	}
	f[1]=1;
	for(int i=0;i<n;i++) f[i]=f[i+1];//��x
//	f[n-1]=0;
	poly_pow(f,tmp,n,n);
	poly_inv(tmp,g,n);
	ll ans=g[n-1]*inv(n)%mod;
	printf("%lld
",ans+1);
}