透视投影矩阵的推导

视锥体

 

如图，近截面与远截面之间构成的这个四棱台就是视锥体，而透视投影矩阵的任务就是把位于视锥体内的物体的顶点X,Y,Z坐标映射到[-1,1]范围。这就相当于把这个四棱台扭曲变形成一个立方体。这个立方体叫做规则观察体   (Canonical View Volume, CVV)。如下图：

 

变换方法或规则：

如下图，有一点P，位于视锥体内，设坐标为(x,y,z).分别对x,y坐标和z坐标的变换到[-1,1]的方式进行讨论：

1.x,y坐标的变换方式：

(1)连接视点eye与P点与近裁剪面交于P’点

(2)设近裁剪面的宽度为W，高度为H，P’点的x坐标范围是[-W/2,W/2],y坐标范围是[-H/2,H/2],然后分别线性映射至[-1,1]内即可。

 

2.z坐标的变换方式

 z坐标的范围是N至F，需要映射到[-1,1],映射方法暂时按下，不做想法。

透视投影函数形式

void Matrix4X4::initPersProjMatrix(float FOV, const float aspect, float zNear, float zFar) 

透视投影矩阵构建函数的参数：

Fov:纵向的视角大小

 

aspect:裁剪面的宽高比

zNear:近裁剪面离摄像机的距离，图中的n

zFar:远裁剪面离摄像机的距离，图中的f

通过这几个参数和三角函数的数学知识可以求得近裁剪面的高度，参考上图：

 

求得点P在近裁剪面的投影点P’的坐标

根据相似三角形对应边长度的比率相同，由图可得

 

其中

 

x’,y’的范围沿原点对称，只要将他们分别除以W/2,H/2,即可以使范围位于[-1,1]内。前面已求得W,H，因此：

 

假设

我们最后需要的坐标点P’’即是

推导矩阵

然后为了自动化的得到这个结果，我们使用矩阵这种数学工具，将一个矩阵乘以一个向量，得到一个新的向量，使得我们所有的运算步骤和运算数据蕴藏在矩阵和乘法中。下面的工作就是寻找到一个矩阵使得：

 

我们发现求解

很难找出合适的m00、m02,因为左边x和z是以加法的形式相邻,右边z确成为了x的分母。

解决方法：将右边的以四维列向量表示的坐标每一项乘以z,所以有：

 

所以可以求得矩阵为

 

最后求得投影矩阵为

将这样的矩阵乘以视锥体内的一个顶点坐标，得到一个新的向量，再将这个向量的每个分量除以第四个分量(w)(这一步叫做透视除法，在gpu渲染管线中位于顶点着色器处理之后，由硬件自动完成), 之后就得到了规则立方观察体中的新的坐标。

注意：z坐标的映射方式的获得，最后我们是为了方便矩阵乘法的操作反向求得了z坐标与cvv中的z坐标的映射方式：

可见两者的映射并不是线性的, 如下图所示; 

 

上图为 深度缓存中的深度值DepthValue和物体距离摄像机深度ZValue的关系图；DepthValue=(z''+1)/2，将深度值从范围(-1,1)转换到(0,1)。

代码示例：

void Matrix4X4::initPersProjMatrix(float FOV, const float aspect, float zNear, float zFar) {
    const float zRange = zNear - zFar;
    const float tanHalfFOV = tanf(ToRadian(FOV / 2.0f));

    elements[0][0] = 1.0f / (tanHalfFOV * aspect);  elements[0][1] = 0.0f;             elements[0][2] = 0.0f;           elements[0][3] = 0.0;
    elements[1][0] = 0.0f;                     elements[1][1] = 1.0f / tanHalfFOV;   elements[1][2] = 0.0f;            elements[1][3] = 0.0;
    elements[2][0] = 0.0f;                     elements[2][1] = 0.0f;              elements[2][2] = (-zNear - zFar) / zRange;  elements[2][3] = 2.0f * zFar*zNear / zRange;
    elements[3][0] = 0.0f;                     elements[3][1] = 0.0f;             elements[3][2] = 1.0f;            elements[3][3] = 0.0;
}