具体数学-第二章-和式

读《具体数学》

简要笔记

2.1记号

$sum_{k=1}^{n}a_{}^{k}$ 

其中a_k是被加数,k介于下限1和上限n之间

$sum_{k=1}^{pi(N)} frac{1}{p}$

其中p_k表示第K个素数，$pi(N)$表示<=N的素数的个数

这个和式指出了接近N的随机整数平均而言约有多少个素因子，对于大的N，其值近似等于ln ln N+M

其中M约为0.261 497 212 847 642 783 755 426 838 608 695 859 051 566 6

2.2和式和递归式

对于一个递归式

$ R_{0}=alpha $ 

$ R_{n} = R_{n-1} + eta + gamma n $   n>0

通解

$R_{n} = Aleft ( n ight )alpha  + Bleft ( n ight )eta + cleft ( n ight )gamma$

求解方法：使用成套方法，用简单函数代替R_n，求得$alpha $ $eta$ $gamma$

利用待定系数法，计算出R₀  R₁  R₂ 三个方程解三个未知数，解出$alpha $ $eta$ $gamma$ 便可得到答案

a_nT_n = b_nT_n-1+c_n

事实上我们可以把任何形式的a_nT_n = b_nT_n-1+c_n转化为和式

只要我们找到一个实当的求和因子s来乘以两边：

s_na_nT_n = s_nb_nT_n-1+s_nc_n

恰当选择s_n使得

s_nb_n=s_n-1a_n-1

这样的话就得到新的和式-递归式

S_n-1=S_n-1+s_nc_n

从而

$S_{n}=s_{0}a_{0}T_{0}+sum_{k=1}^{n}s_{k}c_{k}$

那么其实，T_n答案的解就是

$T_{n}= frac{1}{s_{n}a_{n}}(s_{0}a_{0}T_{0}+sum_{k=1}^{n}s_{k}c)$

那么如何求解S_n?

利用s_n=s_n-1a_n-1/b_n把上下展开

$s_{n}=frac{a_{n-1}a_{n-2}cdots a_{1}}{b_{n}b_{n-1}cdots b_{2}}$

调和数：

$H_{n}=1+frac{1}{2}+cdots+frac{1}{n}=sum_{k=1}^{n}frac{1}{k}$

2.3 和式的处理

三条法则

分配律$sum_{kin K}ca_{k}=csum_{kin K}a_{k}$

结合律$sum_{kin K}left ( a_{k}+b_{k} ight )=sum_{kin K}a_{k}+sum_{kin K}b_{k}$

交换律$sum_{k in K}a_{k}=sum_{pleft (k ight)in K}a_{p{left ( k ight )}}$

需要注意的是，一般的交换律中的函数p(k)，都是假设所有整数的排列，即对于每一个整数n都恰好存在一个整数k，使得p(k)=n，否则可能错误。

扰动法

扰动法基本公式$sum_{k in K}a_{k}+sum_{k in K'}a_{k'}=sum_{k in Kcap K'}a_{k}+sum_{k in Kcup K'}a_{k}$

把一项分出去的运算，便是扰动法，它可以用来封闭形式来计算和式

步骤：从未知的和式开始，并记录它的S_n

$S_{n}=sum_{0leq kleq n}a_{k}$

然后通过把它的最后一项和第一项分离出来，用两种方法改写S_n+1

$S_{n}+a_{n+1}=sum_{0leq kleq n+1}a_{k}=a_{0}+sum_{1leq kleq n+1}a_{k}$

           $=a_{0}+sum_{1leq k+1leq n+1}a_{k+1}$

           $=a_{0}+sum_{0leq kleq n}a_{k+1}$

然后对最后的那个和式子进行相应处理，用S_n表示出来，从而建立S_n的方程。

当然求解不仅限于这一种方法，求导，错位相减，等初等技巧，也是求解和式的好方法。

2.4 多重和式

如果P(j,k)是j与k的一种性质，所有使得p(j,k)为真的项a_i,k之和可以用这两种表示

$sum _{Pleft ( j,k ight )}a_{j,k}=sum _{j,k}a_{j,k}[P(j,k)]$

有如下公式

$sum _{Pleft ( j,k ight )}a_{j,k}=sum _{j} sum _{k}a_{j,k}[P(j,k)]=sum _{k} sum _{j}a_{j,k}[P(j,k)]$

适当选择求和次序，使得问题简化

一般的分配律：

$sum_{jin J,kin K}a_jb_k=(sum_{jin J}a_{j})(sum_{kin K}b_{k})$

切比雪夫单调不等式：

$(sum_{k=1}^{n}a_{k})(sum_{k=1}^{n}b_{k})leq nsum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}$ 其中a₁<=...<=a_n 且 b₁<=...<=b_n 

$(sum_{k=1}^{n}a_{k})(sum_{k=1}^{n}b_{k})geq nsum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}$ 其种a₁<=...<=a_n

且 b₁>=...>=b_n

积分形式

$(int _{a}^{b}f(x)dx)(int _{a}^{b}g(x)dx)leq (b-a)(int _a^bf(x)g(x)dx)$

$sum _{0leq k< n}H_{k}=nH_n-n$