母函数
母函数定义
考虑只取非负值的离散型随机分布，如二项分布，泊松分布，几何分布等，称之为整值随机变量。而有一种变换方法比较适于变换，即母函数法。
对于整值随机变量 (xi) ，根据佚名统计学家公式，定义母函数为 (P(s)=Es^{xi}=sum_{k=0}^infty p_ks^k) ，当 (|s|le1)时，(P(s)) 一致收敛且绝对收敛，所以母函数对任何整值随机变量都存在。
二项分布母函数： (P(s)=(q+ps)^n)
泊松分布母函数： (P(s)=e^{lambda s}e^{-lambda}=e^{lambda(s-1)})
几何分布母函数： (P(s)=frac{ps}{1-qs})
母函数的性质
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唯一性：母函数能唯一确定分布列
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母函数与数值特征相关
因为，(P(s)=sum_{k=0}^infty p_ks^k) ，可以推得(P'(s)=sum_{k=1}^infty kp_ks^{k-1})，(P''(s)=sum_{k=2}^infty k(k-1)p_ks^{k-2})
所以，当数学期望和方差存在的时候，可以知道 (Exi=P'(1))，而(E(xi(xi-1))=E(xi^2)-Exi=P''(1))，
推得(Dxi=Exi^2-(Exi)^2=E(xi(xi-1))+Exi-(Exi)^2=P''(1)+P'(1)-(P'(1))^2)
所以，利用母函数可以更为简单直接的求整值随机变量的数字特征。
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独立随机变量和的母函数
考虑随机变量和的母函数，根据整值随机变量的定义我们可以知道，计算随机变量 (zeta=xi+eta)时，（分别对应于分布({c_k},{a_k},{b_k})）有(c_r=sum_{i=0}^ra_ib_{r-i})，这个实际上给出了卷积的从统计角度上的理解。既然是卷积，我们知道多项式乘法的计算过程也是利用卷积，所以通过母函数，我们可以把随机变量和的概率分布求解转化成多项式乘法，即(C(s)=A(s)B(s))。两个独立随机变量之和的母函数是这两个随机变量母函数的乘积，而母函数和分布是一一对应的，从而可以间接求出分布。
结论可以推广到n个独立整值随机变量之和的场合。
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随机个随机变量之和的母函数
考虑一组独立同分布的随机变量({xi_n})，母函数为(F(s)=sum_{j=0}^infty f_js^j)，和与之独立的正值随机变量(v) ，母函数为(G(s)=sum_{n=0}^infty g_ns^n) ，考虑 (eta = sum_{i=1}^v xi_i)，即随机个随机变量之和的分布。
(eta)的母函数为(H(s)=sum_{i=0}^infty h_is^i) ，所以有
[egin{split} h_i &= P{eta=i} = sum_{n=1}^infty P{v=n}P{eta=i|v=n}\ &= sum_{n=1}^infty P{v=n}P{ sum_{i=1}^n xi_i|v=n}\ &= sum_{n=1}^infty P{v=n}P{ sum_{i=1}^n xi_i} end{split} ]而随机变量({xi_n})独立同分布，所以有
[egin{split} H(s)&=sum_{i=0}^infty h_is^i\ &= sum_{n=1}^infty P{v=n}P{ sum_{i=1}^n xi_i}s^i\ &= sum_{n=1}^infty P{v=n}[F(s)]^n\ &= G[F(s)] end{split} ]即随机个随机变量之和的母函数是原来两个母函数的复合。
考虑应用：由于 (H'(s)=G'[F(s)]F'(s)) 令(s=1)可以求得，(Eeta=Ev Exi_i)