一、二叉树基本概念
1.定义
二叉树(Binary Tree)是n(n>=0)个结点的有限集合。该集合或者为空集(或称空二叉树)。或者由一个根节点和两颗互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。
2.二叉树特点
(1)每一个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点;
(2)左子树和右子树是有顺序的。次序不能随意颠倒;
(3)即使树中某节点仅仅有一颗子树，也要区分它是左子树还是右子树。
另外，二叉树具有五种基本形态：
a.空二叉树;b.仅仅有一个根结点;c.根结点仅仅有左子树;d.根结点仅仅有右子树;e.根结点既有左子树又有右子树
3.特殊的二叉树
(1)斜树：全部的结点都仅仅有左子树的二叉树称为左斜树;全部结点都是仅仅有右子树的二叉树称为右斜树。特点：每一层都仅仅有一个结点，结点的个数与二叉树的深度同样。
(2)满二叉树：在一颗二叉树中，假设全部分支结点都存在左子树和右子树，而且全部叶子都在同一层上。这种二叉树称为满二叉树。
满二叉树特点：a)全部的叶子仅仅能出如今最下一层且处于同一层;
b)非叶子结点的度一定是2;
c)在相同深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多。叶子数最多。
(3)全然二叉树：对一颗具有n个结点的二叉树按层序编号，假设编号为i(1=<i<=n)的结点与相同深度的满二叉树编号为i的结点在二叉树中位置全然相同，则这颗二叉树称为全然二叉树。
全然二叉树特点：a)叶子结点仅仅能出如今最下两层;
b)最下层的叶子一定出如今左部连续位置;
c)倒数二层。若有叶子结点，一定都在右部连续位置;
d)假设结点度为1，则该结点仅仅有左孩子，即不存在仅仅有右子树的情况;
e)相同结点数的二叉树，全然二叉树的深度最小。
总之：满二叉树一定是一颗全然二叉树。但全然二叉树不一定是满的。在判别是否为二叉树时，我们仅仅需给每一个结点依照满二叉树的结构逐层顺序编号。假设编号出现了空档，就说明该树不是全然二叉树，都在就是。
二、二叉树的性质
1.性质1：在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i>=1).
分析：计算二叉树某一层的结点数。这里的"至多"指的是。当该二叉树为满二叉树时，由数学归纳法论证可知，第i层有最多能够有2^(i-1)个结点。
2.性质2：深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点(k>=1)
分析：计算二叉树结点总数。这里"深度为k"指有k层的二叉树，当该二叉树为满二叉树时。由数学归纳法论证可知。该二叉树至多有2^k-1个结点。
3.性质3：对不论什么一颗二叉树T，假设其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2,则no=n2+1.
分析：一颗二叉树主要有n0个度为0的叶子结点、n1个度为1的结点、n2个度为2的结点组成。因此，该二叉树的结点总数n=n0+n1+n2(方程1).从二叉树中连接线数可知，因为根结点仅仅有分支出去。没有分支进入，全部分支线总数减去1，即二叉树分支线总数=n-1=n1+2n2(方程2)(当中n1为度为1的结点数、n2为度为2的结点数)。
联立方程得：n0=n2+1.
4.性质4：具有n个结点的全然二叉树的深度为「log2^n」+1 (「x」表示不大于x的最大整数)。
分析：由性质2我们能够知道，深度为k的满二叉树的结点数n=2^k-1。由其倒推得到满二叉树的度数为k=log2^(n+1)。因为全然二叉树是满二叉树的一个子集，它的结点数一定少于等于相同度数的满二叉树的结点数2^k-1，但一定多于2^(k-1)-1。即满足2^(k-1)-1<n<2^k-1.
因为结点数n是整数，n<2^k-1=<2^k且n>2^(k-1)-1>=2^(k-1),所以2^(k-1)<n<2^k,再不等式两边取对数，得到k-1=<log2^n<k,而k作为度数也是整数，因此k=「log2^n」+1.
5.性质5：假设对一颗有n个结点的全然二叉树(其深度为「log2^n」+1)的结点按层序编号(从第1层到第「log2^n」+1
层，每层从左到右)，对任一结点i(1=<i<=n)有：
(1)假设i=1,则结点是i的二叉树的根，无双亲；假设i<1，则其双亲是结点[i/2];
(2)假设2i>n,则结点i无左孩子(结点i为叶子结点)；否则其左孩子是结点2i;
(3)假设2i+1>n,则结点i无右孩子;否则其右孩子是结点2i+1.
三、二叉树的存储结构
1.二叉树顺序存储结构
因为二叉树是一种特殊的树，使得顺序存储结构得以实现。二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的结点，而且结点的存储位置。也就是数组的下标要能体现结点之间的逻辑关系，比方双亲与孩子的关系，左右兄弟的关系等。(k个结点。须要分配2^k-1个存储单元空间)
注意：顺序存储结构一般仅仅用于全然二叉树。
2.二叉链表
(1)核心思想
二叉树每一个结点最多有两个孩子，全部为它设计一个数据域和两个指针域，用来指向该结点的左右孩子。我们称为这种链表为二叉链表。
(2)结点结构
当中，data为数据域，lchild和rchild都是指针域，分别存放指向左右孩子的指针
(3)二叉链表的结点结构定义代码
/*二叉树的二叉链表结点结构定义*/
typedef struct BiTNode /*结点结构*/
{
TElemtype data; //结点数据
struct BiTNode *lchild,*rchild;//左右孩子指针
} BiTNode,*BiTree;
(4)结构实例
>>二叉链表
>>三叉链表：parent指针域存放指向结点双亲的指针
