奇妙的数学

1. 约瑟夫（环）问题。 

见于：http://www.cnblogs.com/liyangguang1988/p/3620007.html

 （数学推理部分开始）

 2. 不用任何中间变量交换两个变量 a 和 b 的值。

 方法1：                                                      方法2：（适用整型）

 a = a + b;                                                  a = a ^ b;

 b = a - b;                                                   b = a ^ b;

 a = a - b;                                                   a = a ^ b;

3. 不用加减乘除求两个整数的和。

求整数 a，b 的和：

步骤A：令 s = a ^ b，将所有位相加，有进位处置 0 （相当于舍弃进位相加）。—>步骤B

步骤B:  令 d = a & b，则求出所有进位，

若 d == 0，则无进位，返回 s；

若 d != 0，则返回(d << 1) + s 。即将所有进位左移一位，将问题化成 (d << 1) 与 s 求和的问题。可令 a = d << 1，b = s，—>步骤A。

例如：a = 5，b = 13 时：计算机内表示为，a =0101，b = 1101，

步骤A:  s = a ^ b = (0101) ^ (1101) = 0 1000. —>步骤B

步骤B:  d = a & b = (0101) & (1101) = 0101。 1，3 位有进位，d != 0，于是 a = s = 1000，b = d << 1 = 0101，—>步骤A₂。

步骤A₂: s = a ^ b = (1000) ^ (0101) = 1101。—>步骤B₂

步骤B2: d = a & b = (1000) & (0101) = 0000。d == 0 ，无进位，返回 s = 1101. 即 13 

（注：负数在计算机中用补码表示，但是负数之间也满足这种求和方法。正数与负数之间求和也适用于此方法）

代码：

/********** 注：超出边界时溢出 *************/
int add(int num1, int num2)
{
	int sum = num1 ^ num2;
	while(num1 & num2)
	{
		num1 = (num1 & num2) << 1;
		num2 = sum;
		sum = num1 ^ num2;
	}
	return sum;
}

int main()
{
	std::cout << add(0x7fffffff >> 1, (0x7fffffff >> 1)+1) << std::endl;
	return 0;
}

 结果：

4. 不用乘、除、取余运算实现两个 int 值相除。

code:

class Solution {
public:
	int divide(int dividend, int divisor) {
		if(divisor == 0) return INT_MAX;
		bool signal = false;
		bool overflow = false;
		if(dividend < 0) {
			signal = !signal;
			if(dividend == INT_MIN) { overflow = true; dividend++; }
			dividend *= -1;
		} 
		if(divisor < 0) {
			signal = !signal;
			if(divisor == INT_MIN) {
				if(overflow) return 1;
				else return 0;
			}
			divisor *= -1;
		}
		int result = 0;
		while(dividend >= divisor) {
			int x(divisor);
			int r(1);
			while(dividend-x >= x) {
				x += x;
				r += r;
			}
			dividend -= x;
			result += r;
		}
		if(overflow && dividend +1 == divisor) result++;
		return signal ? (-result) : result;
	}
};

 

 5. 找数组中单数问题

 见于：http://www.cnblogs.com/liyangguang1988/p/3622257.html

　　6. ACM： 今天是星期一，再过 1^1+2^2+3^3+4^4+…+N^N天后是星期几？（ 0 =< N <= 10亿）时间限制：2秒

原题：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=5272      

  base: 0　　1　　2　　3　　4　　5　　6   

       0  0 　　

      1  1　　　　

      2  1　　2　　4　　1　　　

　　3  1　　3　　2　　6　　4　　5　　1

　　4  1　　4　　2　　1

　　5  1　　5　　4　　6　　2　　3　　1

　　6  1　　6　　1

 code:

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
string day[] = { "星期一", "星期二", "星期三", "星期四", "星期五", "星期六", "星期日" };
int base[7][7];
int circle[7] = {1, 1, 3, 6, 3, 6, 2};

inline void init()
{
    for(int i = 1; i < 7; ++i)
    {
        int step = 1;
        base[i][0] = step % 7;
        for(int j = 1; j < 7; ++j)
        {
            step *= i;
            base[i][j] = step % 7;
        }
    }
}

int main()
{
    int N;
    init();
    while(cin >> N)
    {
        int sum = 0;
        N = N % 294;
        while(N)
        {
            int t1 = N % 7;
            int t2 = N % circle[t1];
            sum = (sum + base[t1][t2]) % 7;
            --N;
        }
        cout << (day[sum]) << endl;
    }
    return 0;
}

 

 附：n x n 的正方形中，有多少长方形？  答案： C(n+1, 2)²-n(n+1)(2n+1)/6 = n(3n+2)(n²-1)/12 .