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关注输入一个数N。(2 <= N <= 10^9)
输出Phi(n)。
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欧拉函数简介：
写在前面：
欧拉函数只是工具：提供1到N中与N互质的数
定义和简单性质
欧拉函数在OI中是个非常重要的东西,不知道的话会吃大亏的.
欧拉函数用希腊字母φ表示,φ(N)表示N的欧拉函数.
对φ(N)的值,我们可以通俗地理解为小于N且与N互质的数的个数(包含1).
欧拉函数的一些性质:
1.对于素数p, φ(p)=p-1，对于对两个素数p,q φ（pq）=pq-1
欧拉函数是积性函数,但不是完全积性函数.
证明：
函数的积性即：若m,n互质,则φ(mn)=φ(m)φ(n).由“m,n互质”可知m,n无公因数,所以φ(m)φ(n)=m(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)…(1-1/pn)·n(1-1/p1')(1-1/p2')(1-1/p3')…(1-1/pn'),其中p1,p2,p3...pn为m的质因数,p1',p2',p3'...pn'为n的质因数,而m,n无公因数,所以p1,p2,p3...pn,p1',p2',p3'...pn'互不相同,所以p1,p2,p3...pn,p1',p2',p3'...pn'均为mn的质因数且为mn质因数的全集,所以φ(mn)=mn(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)…(1-1/pn)(1-1/p1')(1-1/p2')(1-1/p3')…(1-1/pn'),所以φ(mn)=φ(m)φ(n).
即φ(mn)=φ(n)*φ(m)只在(n,m)=1时成立.
2.对于一个正整数N的素数幂分解N=P1^q1*P2^q2*...*Pn^qn.
φ(N)=N*(1-1/P1)*(1-1/P2)*...*(1-1/Pn).
3.除了N=2,φ(N)都是偶数.
4.设N为正整数,∑φ(d)=N (d|N).
根据性质2,我们可以在O(sqrt(n))的时间内求出一个数的欧拉函数值.
如果我们要求1000000以内所有数的欧拉函数,怎么办.
上面的方法复杂度将高达O(N*sqrt(N)).
我们来看看线性筛法的程序:
#include <iostream>
using namespace std;
int euler(int n)
{
int res=n,a=n;
for(int i=2;i*i<=a;i++)
{
if(a%i==0)
{
res=res/i*(i-1);//先进行除法是为了防止溢出
while(a%i==0)a/=i;
}
}
if(a>1)res=res/a*(a-1);
return res;
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
cout<<euler(n)<<endl;
return 0;
}
它在O(N)的时间内遍历了所有的数,并且有很多的附加信息,
那么我们是不是能在筛素数的同时求出所有数的欧拉函数呢.
答案是可以.
φ(n)=n*（1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk),其中p1、p2…pk为n的所有素因子。
比如：φ(12)=12*(1-1/2)(1-1/3)=4。
利用这个就比较好求了，可以用类似求素数的筛法。
先筛出N以内的所有素数，再以素数筛每个数的φ值。
比如求10以内所有数的φ值：
设一数组phi[11]，赋初值phi[1]=1,phi[2]=2...phi[10]=10；
然后从2开始循环，把2的倍数的φ值*(1-1/2)，则phi[2]=2*1/2=1,phi[4]=4*1/2=2,phi[6]=6*1/2=3....；
再是3，3的倍数的φ值*(1-1/3)，则phi[3]=3*2/3=2,phi[6]=3*2/3=2，phi[9]=.....；
再5，再7...因为对每个素数都进行如此操作，因此任何一个n都得到了φ(n)=n*（1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk)的运算
觉得这个“筛”还是比较好用的，以前求数的所有因子之和也是用的它。
代码如下：
筛法求欧拉函数（求1-N之间所有的欧拉函数值保存到euler[i]中）
void Init(){
euler[1]=1;
for(int i=2;i<Max;i++)
euler[i]=i;
for(int i=2;i<Max;i++)
if(euler[i]==i)
for(int j=i;j<Max;j+=i)
euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出
}