二分查找七种情况大合集，核心不变
二分查找，其实是非常简单的算法，却令自己非常容易晕头转向。早该抽取时间好好推一推，怪自己太懒。今年市赛有题卡了2小时，就是因为二分写不出。写出来样例都对，却无限WA，找不到问题，还影响心态。前一段时间好好梳理了一下，在这里贴出来，警示自己。。/(ㄒoㄒ)/。
在此之前我是借鉴了各路大佬的博客来验证自己的想法的，贴一下借鉴的大佬博客：http://poj.org/problem?id=2299
二分已经很多人写了，但自己梳理一下，饱含啰嗦的废话，希望大家都能更好简单的理清楚二分的简单，以俺自己的理解方式整理记录，也给自己存个纪念意义吧。
先讲一些废话：
废话一~：
网上的二分杂七杂八，总感觉一样的命题，为什么写法总感觉不同，看着心痛。有一个原因是因为二分的区间使用不同：有人是使用开区间如(0,n)，有人是用闭区间[0,n]，有人是用左闭区间有开区间[0,n)，等等。
故在这里先声明，我使用的区间都是闭区间：左闭右闭——[L,R]例如[0,n]，而且我们假定序列是从小到大排序的！（递增），就是左边小右边大！
为了方便代码的书写，区间包括了0也包括了n，也就是说其实一共有n+1个元素。其实下标从1开始也无碍的，在这里取0作为其实下标好了。在二分的过程中，使用[L,R]表示使用二分的数组区间，而使用小写的字母l表示二分当前进行到的区间的左边界，r表示二分当前进行到的区间右边界。
废话二~：
还有一个是为了程序的更好的鲁棒性：求中间值的时候，我们多用m=(l+r)/2； 但是这样的可能会越界，比如 l+r超int，所以我们用更好更安全的写法 ：m=l+(r-l)/2; 起初还钻牛角尖不理解为什么等式相同。。。
废话三~：
看大牛的代码多用“按位移”（>>1）来代替除法的，那要考虑优先级。个人印象是>>优先级很低，不但比乘法低，还比加法低，所以要加括括号饿。本菜还是乖巧的使用/好了，更清晰明了。
废话四~：
很常见的，二分查找的递推写法都是while(l<=r){....}，那么循环结束之时，肯定是 l！=r的结果，此时必然是 l=r+1（l跑到了r的右边），并且是 r=l-1（r跑到了l的左边）。所以后面的代码在return部分，使用r+1和使用l进行return是等价的一样的，或者使用r和使用l-1进行return是等价的一样的，不需要感到疑惑。
进入正题：
先给出结论：二分查找其实就是插一个FLAG（擂台），然后进行不断二分比对的过程中，如果没达到FLAG标准，就继续向自己心中的方向走（这个方向是相对的）；如果达到FLAG标准了，立马毫不犹豫犯怂回退。
所以二分查找的核心就是如何插FLAG，以及如何确定自己心中的方向。
所谓“FLAG”，就是本二分的查找目的是什么。而“方向”，就是我们在执行二分查找，而不断缩小区间的行为中，向着目的正方向的行为，就是收敛二分查找的方向，收敛方向。
在后头我将结合7种情况，分别进行阐释这段用饱含着中二、打怪的不正常思路写下的这句总结的话。
首先，我们可以确定一下，二分变来变去常用的有这么七种，我建议朋友们可以先看①（因为这是最基础的写法呀！），然后再先看⑥和⑦，看懂了之后再返回前面去看，不仅是因为这两个和第一个题目有点像，而且我觉得理解的时候最容易理解，我写的也多一些~：
①是否 存在数字t ——返回下标或者-1
②找到 大于t的第一个数 ——返回下标或者-1
③找到 大于等于t的第一个数 ——返回下标或者-1
④找到 小于t的最后一个数 ——返回下标或者-1
⑤找到 小于等于 t的最后一个数 ——返回下标或者-1
⑥是否 存在数字t，返回 第一个t ——返回下标或者-1
⑦是否 存在数字t，返回 最后一个t ——返回下标或者-1
可以发现，情况①和情况⑥和情况⑦是很像但是却有区别的。第①种情况是最最简单的二分，默认返回的是中间位置的t，就是“赤裸的二分”。第②、⑤、⑦的代码是相互相像的，而第③、④、⑥的代码是相互相像的。
下面我会直接先贴出代码的核心写法（因为其他部分都一毛一样的），然后对应讲解自己的“FLAG”思维。在本文的最后，俺会一次性的贴出完整的函数代码。
数组假设已经从小到大排序完毕。
①是否存在数字t：（赤裸的二分查找，最原始）
while(l<=j)
{
m=l+(r-l)/2;
if(a[m]==t)return m; //达成目标
else if(a[m]<t)l=m+1; //比t小，向前走
else if(a[m]>t)r=m-1; //比t大，向后退
}
return -1;
这是最简单原始的二分，没有设立FLAG。
②找到 大于t的第一个数：
//第一个大于，应当向右收敛
while(l<=r)
{
m=l+(r-l)/2;
if(a[m]<=t) l=m+1; //未达到FLAG,区间向右收敛
else if(a[m]>t)r=m-1; //触发FLAG,怂，退回来
}
return l>R?-1:l; //假设所有的数字都小于等于t，也就是永远触发不了FLAG，
//l就会不断右移，出现上溢
设立的FLAG：大于t的第一个数。遥想一下，给一个数组，我们肉眼去扫寻的话，眼球肯定是从左边往右边扫最快，所以——方向向右
③找到 大于等于t的第一个数：
//第一个大于等于，应当向右收敛
int l=L,r=R,m;
while(l<=r)
{
m=l+(r-l)/2;
if(a[m]<t)l=m+1; //未达到FLAG,区间向右收敛
else if(a[m]>=t)r=m-1;//触发FLAG,怂，退回来
}
return l>R?-1:l; //假设所有的数字都小于t，也就是永远触发不了FLAG，
//l就会不断右移，出现上溢
设立的FLAG：大于等于t的第一个数，遥想一下，给一个数组，我们肉眼去扫寻的话，眼球肯定是从左边往右边扫最快，所以——方向向右
④找到 小于t的最后一个数：
//第一个小于，应当向左收敛
int l=L,r=R,m;
while(l<=r)
{
m=l+(r-l)/2;
if(a[m]>=t)r=m-1; //未达到FLAG,区间向左收敛
else if(a[m]<t)l=m+1; //触发FLAG,怂，退回来
}
return r<L?-1:r; //假设所有的数字都大于等于t，也就是永远触发不了FLAG，
//r就会不断左移，出现下溢
设立的FLAG：小于t的第一个数，遥想一下，给一个数组，我们肉眼去扫寻的话，眼球肯定是从右边往左边扫最快，所以——方向向右
⑤找到 小于等于t的最后一个数：
//第一个小于等于,应当向左收敛
int l=L,r=R,m;
while(l<=r)
{
m=l+(r-l)/2;
if(a[m]>t)r=m-1; //未达到FLAG,区间向左收敛
else if(a[m]<=t)l=m+1; //触发FLAG,怂，退回来
}
return r<L?-1:r; //假设所有的数字都大于t，也就是永远触发不了FLAG，
//r就会不断左移，出现下溢
设立的FLAG：小于等于t的第一个数，遥想一下，给一个数组，我们肉眼去扫寻的话，眼球肯定是从右边往左边扫最快，所以——方向向右
⑥是否存在数字t，返回第一个t：
//第一个等于，应当向右收敛
int l=L,r=R,m;
while(l<=r)
{
m=l+(r-l)/2;
if(a[m]<t)l=m+1; //未达到FLAG,区间向右收敛
else r=m-1; //触发FLAG,怂，退回来
}
return (l<=R&&a[l]==t)?l:-1; //向右收敛都要考虑上溢
//还要考虑：虽然没有出界，但可能根本不存在此数t
这个查找数字的思路和①挺像的，所以如果这个中间的数字比 t 要小那说明肯定在右边；如果这个中间的数字比 t 要大那说明肯定在左边，这一点就不再扯原因啦。
那还需要注意的一点是，如何体现出我们要找的“第一个”这个特质呢？这么思考可能会有帮助：我要寻找的是第一个 t，那再递增的序列中，就是说要找最左边的 t 呗！（我们先假设存在）也就是说，假设我们在序列中发现了一个 t ，那也不一定是第一个——可能左边还有 t 来着！（不要说你一眼就看出来它左边还有没有别的 t ，反正机器人是看不出来的，它只看见了眼前的 t ，不然还写啥代码嘞？）所以说，如果我们发现中间的数字刚好等于 t ，那可能左边还有 t 呀，那左边的那个 t 不才更可能是“第一个”嘛！ 所以我们就要往左边去找去！选择左区间！
如果我们在查找的过程中，发现了a[m]恰好等于t，这个时候也要往回退（向左边收敛），因为可能当前遇见的“t”不是第一个！故设立的FLAG：大于等于t的第一个数，所以我们是要从左边往右边找——方向向右
⑦是否存在数字t，返回最后一个t：
//最后一个等于，应当向左收敛
while(l<=r)
{
m=l+(r-l)/2;
if(a[m]>t)r=m-1; //未达到FLAG,区间向左收敛
else l=m+1; //触发FLAG,怂，退回来
}
return (r>=L&&a[r]==t)?r:-1;//向左收敛都要考虑上溢
//还要考虑：虽然没有出界，但可能根本不存在此数t
此时和上述类似，如果我们在搜索的时候，发现了a[m]恰好等于t，这个时候也要往回退（向右边收敛），因为可能当前遇见的“t”不是最后一个！故设立的FLAG：小于等于t的第一个数，所以我们是要从右边往左边找——方向向左
推荐看的顺序是，每两个一起比对，这样会更好的发现FLAG的设立关系。设立的FLAG实际上就是我们的“目标条件”，没满足目标条件知识，我们的二分区间都会不断向前收敛；一旦达到了FLAG的要求，我们就马上回退，因为可能收敛过头了。
所以二分的写法，实际上就是写出满足FLAG的情况下，回退的方向确定，就知道如何回退了，因为另一个情况就是反操作呗。
哎，个人语文不行，叙述的可能还是乱七八糟啊。
在末尾给一下总结。
总结：
查找大于/大于等于t的数，方向向右，返回l，考虑l上溢。
查找小于/小于等于t的数，方向向左，返回r，考虑r下溢。
查找第一个t， FLAG使用大于等于，方向向右，返回l，考虑l上溢，还要专门考虑此数存不存在。
查找最后一个t，FLAG使用小于等于，方向向左，返回r，考虑r下溢，还要专门考虑此数存不存在。
写的很菜，若有瑕疵，请指正。/(ㄒoㄒ)/