洛谷 P5162 WD与积木 解题报告

P5162 WD与积木

题目背景

WD整日沉浸在积木中，无法自拔……

题目描述

WD想买(n)块积木，商场中每块积木的高度都是(1)，俯视图为正方形（边长不一定相同）。由于一些特殊原因，商家会给每个积木随机一个大小并标号，发给WD。

接下来WD会把相同大小的积木放在一层，并把所有层从大到小堆起来。WD希望知道所有不同的堆法中层数的期望。两种堆法不同当且仅当某个积木在两种堆法中处于不同的层中，由于WD只关心积木的相对大小，因此所有堆法等概率出现，而不是随机的大小等概率（可以看样例理解）。输出结果(mod 998244353)即可。

（如果还是不能够理解题意，请看样例）

输入输出格式

输入格式：

第一行一个数(T)，表示询问个数。

接下来(T)行每行一个数(n)，表示WD希望使用(n)块积木。

输出格式：

共(T)行，每行一个数表示答案(mod 998244353)。

说明

subtask1(21pts): (1≤T≤1,000, 1≤n≤1,000)

subtask2(37pts):(~1le Tle 10,~1le nle 100,000)

subtask3(42pts):(~1le Tle 100,000,~1le nle 100,000)

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当时拿斯特林数推了一会儿没推出来就走了，原来只是部分分啊。

姿势水平屑了，今天稍微给自己普及了一些指数型生成函数。

朴素DP

(g_n)代表(n)个东西的堆法，就是有标号球和盒子不准空的方案数，就是有序贝尔数，递推的时候枚举第一堆大小。

[g_n=sum_{i=1}^n inom{n}{i}g_{n-i} ]

(f_i)代表(n)个东西所有堆法的总层数。

[f_n=g_n+sum_{i=1}^ninom{n}{i}f_{n-i} ]

从意义上看，(f_0=0,g_0=1)，不想从意义上看就稍微推一下。

实质还是枚举第一堆的大小，(g_n)算的是枚举的这一堆的贡献和，剩下的是其他堆的贡献。

然后构造指数生成函数

[F(x)=sum_{i=0}^inftyfrac{f_i}{i!}x^i,G(x)=sum_{i=0}^inftyfrac{g_i}{i!}x^i,H(x)=sum_{i=0}^inftyfrac{1}{i!}x^i ]

然后稍微注意一下发现上面的下标是从(1)开始的，于是直接卷会多一个

[2G=GH+1,2F=FH+G-1 ]

关于＋1-1，今天想到一种理解方式。

(1)实际上是一个多项式单位元，像数论卷积定义的(epsilon(n)=[n=1])那样。

然后＋1还是为了(g_0=1)考虑的，因为本身这个东西已经封闭了，你得给它打开一个开口啊（天呐我在扯什么

后面-1减的实际上还是(g_0=1)

化简一下式子

[F=G(G-1) ]

求逆求出(G)就行了

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Code:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int mod=998244353,Gi=332748118;
const int M=(1<<18)+10;
const int N=1e5;
#define mul(a,b) (1ll*(a)*(b)%mod)
#define add(a,b) ((a+b)%mod)
int qp(int d,int k){int f=1;while(k){if(k&1)f=mul(f,d);d=mul(d,d),k>>=1;}return f;}
int fac[M],inv[M],ans[M],H[M],A[M],B[M],D[N],turn[M],len=1;
void NTT(int *a,int typ,int len)
{
    int L=-1;for(int i=1;i<len;i<<=1) ++L;
    for(int i=1;i<len;i++)
    {
        turn[i]=turn[i>>1]>>1|(i&1)<<L;
        if(i<turn[i]) std::swap(a[i],a[turn[i]]);
    }
    for(int le=1;le<len;le<<=1)
    {
        int wn=qp(typ?3:Gi,(mod-1)/(le<<1));
        for(int p=0;p<len;p+=le<<1)
        {
            int w=1;
            for(int i=p;i<p+le;i++,w=mul(w,wn))
            {
                int tx=a[i],ty=mul(w,a[i+le]);
                a[i]=add(tx,ty);
                a[i+le]=add(tx,mod-ty);
            }
        }
    }
    if(!typ)
    {
        int inv=qp(len,mod-2);
        for(int i=0;i<len;i++) a[i]=mul(a[i],inv);
    }
}
void polyinv(int *a,int *b,int len)
{
    if(len==1){b[0]=qp(a[0],mod-2);return;}
    polyinv(a,b,len>>1);
    for(int i=0;i<len;i++) A[i]=b[i],B[i]=a[i],A[i+len]=B[i+len]=0;
    NTT(A,1,len<<1),NTT(B,1,len<<1);
    for(int i=0;i<len<<1;i++) A[i]=mul(A[i],add(2,mod-mul(A[i],B[i])));
    NTT(A,0,len<<1);
    for(int i=0;i<len;i++) b[i]=A[i];
}
int main()
{
    fac[0]=1;for(int i=1;i<=N;i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
    inv[N]=qp(fac[N],mod-2);
    for(int i=N-1;~i;i--) inv[i]=mul(inv[i+1],i+1);
    for(int i=0;i<=N;i++) H[i]=mod-inv[i];H[0]=1;
    while(len<=N) len<<=1;
    polyinv(H,ans,len);
    for(int i=0;i<len;i++) D[i]=mul(ans[i],fac[i]),H[i]=ans[i];
    --ans[0];
    NTT(ans,1,len<<1),NTT(H,1,len<<1);
    for(int i=0;i<len<<1;i++) ans[i]=mul(ans[i],H[i]);
    NTT(ans,0,len<<1);
    for(int i=0;i<=N;i++) ans[i]=mul(qp(D[i],mod-2),mul(ans[i],fac[i]));
    int T,n;scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%d
",ans[n]);
    }
    return 0;
}

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2018.12.31