蓝桥杯 算法训练 ALGO-60 矩阵乘法

算法训练 矩阵乘方  

时间限制：1.0s   内存限制：512.0MB

问题描述

　　给定一个矩阵A,一个非负整数b和一个正整数m，求A的b次方除m的余数。
　　其中一个nxn的矩阵除m的余数得到的仍是一个nxn的矩阵，这个矩阵的每一个元素是原矩阵对应位置上的数除m的余数。
　　要计算这个问题，可以将A连乘b次，每次都对m求余，但这种方法特别慢，当b较大时无法使用。下面给出一种较快的算法(用A^b表示A的b次方)：
　　若b=0，则A^b%m=I%m。其中I表示单位矩阵。
　　若b为偶数，则A^b%m=(A^(b/2)%m)^2%m，即先把A乘b/2次方对m求余，然后再平方后对m求余。
　　若b为奇数，则A^b%m=(A^(b-1)%m)*a%m，即先求A乘b-1次方对m求余，然后再乘A后对m求余。
　　这种方法速度较快，请使用这种方法计算A^b%m，其中A是一个2x2的矩阵，m不大于10000。

输入格式

　　输入第一行包含两个整数b, m，第二行和第三行每行两个整数，为矩阵A。

输出格式

　　输出两行，每行两个整数，表示A^b%m的值。

样例输入

2 2
1 1
0 1

样例输出

1 0
0 1

 

题目解析：

　　题目中已经给出了解题思路，只需分情况讨论 b 为不同情况时，矩阵该怎样去乘即可。

　　因为C/C++中无法返回二维数组，所以给出两种代码，一种是常规方式，一种为结构体，但思路如题所示。后者较前者的时间复杂度更高，但空间复杂度大致相同。

 

示例代码1：

#include<iostream>
#include<memory.h>
using namespace std;

#define MAX_NUM 2

//数组copy 将源数组s复制给目的数组o 
void arrcopy(int s[][MAX_NUM], int o[][MAX_NUM])
{
    for (int i = 0; i < MAX_NUM; i++)
    {
        for (int j = 0; j < MAX_NUM; j++)
        {
            o[i][j] = s[i][j];        
        }        
    }
}

/*
    矩阵乘法
    m：模 
*/ 
void matrixMul(int x[][MAX_NUM], int y[][MAX_NUM], int m)
{
    int t[MAX_NUM][MAX_NUM];
    memset(t, 0, sizeof(t));

    for (int i = 0; i < MAX_NUM; i++)
    {
        for (int j = 0; j < MAX_NUM; j++)
        {
            for (int k = 0; k < MAX_NUM; k++)
            {
                t[i][j] += x[i][k] * y[k][j];
                t[i][j] %= m;
            }
        }
    }
    
    arrcopy(t , x); //最终结果保存在数组x 
}

//分情况处理 
void dispose(int A[][MAX_NUM], int b, int m)
{
    if (b == 0)
    {
        int tmp;
        for (int i = 0; i < MAX_NUM; i++)
        {
            for (int j = 0; j < MAX_NUM; j++)
            {
                if (i == j)
                    tmp = 1;
                else
                    tmp = 0;
                A[i][j] = tmp % m;    //A为单位矩阵 A^b%m=I%m
            }
        }
        return;
    }
    
    if (b % 2 == 0)    //A^b%m=(A^(b/2)%m)^2%m
    {
        dispose(A, b / 2, m);
        matrixMul(A, A, m);
    }
    else            //A^b%m=(A^(b-1)%m)*a%m
    {
        int t[MAX_NUM][MAX_NUM];
        arrcopy(A , t);
        dispose(A, b - 1, m);
        matrixMul(A, t, m);
    }
}

int main()
{
    int b, m;
    scanf("%d%d", &b, &m);
    
    int A[MAX_NUM][MAX_NUM];
    for (int i = 0; i < MAX_NUM; i++)
    {
        for (int j = 0; j < MAX_NUM; j++)
        {
            scanf("%d", &A[i][j]);        
        }        
    }
    
    dispose(A, b, m);
    
    for (int i = 0; i < MAX_NUM; i++)
    {
        for (int j = 0; j < MAX_NUM; j++)
        {
            printf("%d ", A[i][j] % m);        
        }
        printf("
");        
    }

    return 0;
}

示例代码2：

#include<iostream>
using namespace std;

#define MAX_NUM 2

struct Matrix
{
    int arr[MAX_NUM][MAX_NUM];    
};

Matrix A;

//矩阵乘法，与m取模，返回结果 
Matrix mul(Matrix x, Matrix y, int m)
{
    Matrix t;    
    for (int i = 0; i < MAX_NUM; i++)
    {
        for (int j = 0; j < MAX_NUM; j++)
        {
            t.arr[i][j] = 0;
            for (int k = 0; k < MAX_NUM; k++)
            {
                t.arr[i][j] += x.arr[i][k] * y.arr[k][j];
                t.arr[i][j] %= m;
            }
        }
    }
    return t;
}

//分情况处理 
Matrix dispose(Matrix A, int  b, int m)
{
    if (b == 0)
    {
        for (int i = 0; i < MAX_NUM; i++)
        {
            for (int j = 0; j < MAX_NUM; j++)
            {
                if (i == j)
                    A.arr[i][j] = 1 % m;
                else
                    A.arr[i][j] = 0 % m;        
            }        
        }
        return A;
    }
    
    Matrix t = dispose(A, b / 2, m);
    if (b % 2 == 0)
        return mul(t, t, m);
    else    //当b为奇数时，先计算A^(b/2)次方，再乘以A，即A^(b-1)*A 
             //例如，b=5，b/2=2，即A^5 = (A^2 * A^2) * A 
        return mul(mul(t, t, m), A, m);
}

int main()
{
    int b, m;
    scanf("%d%d", &b, &m);

    for (int i = 0; i < MAX_NUM; i++)
    {
        for (int j = 0; j < MAX_NUM; j++)
        {
            scanf("%d", &A.arr[i][j]);        
        }        
    }
    
    Matrix p = dispose(A, b, m);
    
    for (int i = 0; i < MAX_NUM; i++)
    {
        for (int j = 0; j < MAX_NUM; j++)
        {
            printf("%d ", p.arr[i][j]);        
        }
        printf("
");
    }
     
    return 0;
}